Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 + y}{1 - 2 x}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{3 + y}$ .

$\frac{1}{3 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 + y} \cdot \frac{3 + y}{1 - 2 x}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 + y$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 + y} \cdot \frac{3 + y}{1 - 2 x}$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - 2 x}$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{3 + y} d y = \frac{1}{1 - 2 x} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{3 + y} d y = \int \frac{1}{1 - 2 x} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Sei $u_{1} = 3 + y$ . Dann ist $d u_{1} = d y$ . Forme um unter Vewendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Es sei $u_{1} = 3 + y$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Differenziere $3 + y$ .

$\frac{d}{d y} [3 + y]$

Schritt 2.2.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 + y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.2.1.1.3

Da $3$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.2.1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 1$

Schritt 2.2.1.1.5

Addiere $0$ und $1$ .

$1$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{1 - 2 x} d x$

Schritt 2.2.2

Das Integral von $\frac{1}{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{1}{1 - 2 x} d x$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $3 + y$ .

$\ln (| 3 + y |) + C_{1} = \int \frac{1}{1 - 2 x} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Sei $u_{2} = 1 - 2 x$ . Dann ist $d u_{2} = - 2 d x$ , folglich $- \frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Es sei $u_{2} = 1 - 2 x$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Differenziere $1 - 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

Schritt 2.3.1.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.3.1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 2.3.1.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 2.3.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Schritt 2.3.1.1.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

Schritt 2.3.1.1.3.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$0 - 2$

Schritt 2.3.1.1.4

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$- 2$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\ln (| 3 + y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.2.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\ln (| 3 + y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Schritt 2.3.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{u_{2}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| 3 + y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Schritt 2.3.2.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u_{2}$ .

$\ln (| 3 + y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\ln (| 3 + y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\ln (| 3 + y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Schritt 2.3.5

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| 3 + y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Schritt 2.3.6

Vereinfache.

$\ln (| 3 + y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Schritt 2.3.7

Ersetze alle $u_{2}$ durch $1 - 2 x$ .

$\ln (| 3 + y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 x |) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| 3 + y |) = - \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 x |) + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.1

Kombiniere $\ln (| 1 - 2 x |)$ und $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| 3 + y |) = - \frac{\ln (| 1 - 2 x |)}{2} + C$

Schritt 3.2

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| 3 + y |) + \frac{\ln (| 1 - 2 x |)}{2} = C$

Schritt 3.3

Um $\ln (| 3 + y |)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 3 + y |) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| 1 - 2 x |)}{2} = C$

Schritt 3.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.4.1

Kombiniere $\ln (| 3 + y |)$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (| 3 + y |) \cdot 2}{2} + \frac{\ln (| 1 - 2 x |)}{2} = C$

Schritt 3.4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\ln (| 3 + y |) \cdot 2 + \ln (| 1 - 2 x |)}{2} = C$

Schritt 3.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\ln (| 3 + y |)$ .

$\frac{2 \ln (| 3 + y |) + \ln (| 1 - 2 x |)}{2} = C$

Schritt 3.6

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.6.1

Vereinfache $\frac{2 \ln (| 3 + y |) + \ln (| 1 - 2 x |)}{2}$ .

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Schritt 3.6.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.1.1.1

Vereinfache $2 \ln (| 3 + y |)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{\ln ({| 3 + y |}^{2}) + \ln (| 1 - 2 x |)}{2} = C$

Schritt 3.6.1.1.2

Entferne den Absolutwert in ${| 3 + y |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$\frac{\ln ({(3 + y)}^{2}) + \ln (| 1 - 2 x |)}{2} = C$

Schritt 3.6.1.1.3

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\ln ({(3 + y)}^{2} | 1 - 2 x |)}{2} = C$

Schritt 3.6.1.2

Schreibe $\frac{\ln ({(3 + y)}^{2} | 1 - 2 x |)}{2}$ als $\frac{1}{2} \ln ({(3 + y)}^{2} | 1 - 2 x |)$ um.

$\frac{1}{2} \ln ({(3 + y)}^{2} | 1 - 2 x |) = C$

Schritt 3.6.1.3

Vereinfache $\frac{1}{2} \ln ({(3 + y)}^{2} | 1 - 2 x |)$ , indem du $\frac{1}{2}$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln ({({(3 + y)}^{2} | 1 - 2 x |)}^{\frac{1}{2}}) = C$

Schritt 3.6.1.4

Wende die Produktregel auf ${(3 + y)}^{2} | 1 - 2 x |$ an.

$\ln ({({(3 + y)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Schritt 3.6.1.5

Multipliziere die Exponenten in ${({(3 + y)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 3.6.1.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln ({(3 + y)}^{2 (\frac{1}{2})} {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Schritt 3.6.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.6.1.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln ({(3 + y)}^{2 (\frac{1}{2})} {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Schritt 3.6.1.5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln ({(3 + y)}^{1} {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Schritt 3.6.1.6

Vereinfache.

$\ln ((3 + y) {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Schritt 3.6.1.7

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}} + y {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Schritt 3.7

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}} + y {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}})} = e^{C}$

Schritt 3.8

Schreibe $\ln (3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}} + y {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}) = C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{C} = 3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}} + y {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 3.9

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.9.1

Schreibe die Gleichung als $3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}} + y {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$ um.

$3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}} + y {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$

Schritt 3.9.2

Subtrahiere $3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} - 3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 3.9.3

Teile jeden Ausdruck in $y {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} - 3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}$ durch ${| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}$ und vereinfache.

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Schritt 3.9.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} - 3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}$ durch ${| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.9.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.9.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.9.3.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{e^{C}}{{| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.9.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.9.3.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{e^{C} - 3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{C - 3 {| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - 2 x |}^{\frac{1}{2}}}$