Analysis Beispiele

$(\frac{d y}{d x} + 1) = x e^{x + y}$

Schritt 1

Es sei $v = e^{x + y}$ . Ersetze $v$ für alle $e^{x + y}$ .

$(\frac{d y}{d x} + 1) = x v$

Schritt 2

Finde $\frac{d v}{d x}$ durch Differenzierung von $e^{x + y}$ .

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x + y$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + y$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + y]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{u} \frac{d}{d x} [x + y]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x + y$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x + y} \frac{d}{d x} [x + y]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x + y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x + y} (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{d v}{d x} = e^{x + y} (1 + y')$

Schritt 3

Ersetze $e^{x + y}$ durch $v$ .

$\frac{d v}{d x} = v (1 + y')$

Schritt 4

Setze die Ableitung wieder in die Differentialgleichung ein.

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Schritt 4.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$(\frac{\frac{d v}{d x}}{v} + 0) = x v$

Schritt 4.2

Addiere $\frac{\frac{d v}{d x}}{v}$ und $0$ .

$(\frac{\frac{d v}{d x}}{v}) = x v$

Schritt 5

Separiere die Variablen.

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Schritt 5.1

Löse nach $\frac{d v}{d x}$ auf.

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Schritt 5.1.1

Multipliziere beide Seiten mit $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} v = x v \cdot v$

Schritt 5.1.2

Vereinfache.

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Schritt 5.1.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $v$ .

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Schritt 5.1.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} v = x v \cdot v$

Schritt 5.1.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d v}{d x} = x v \cdot v$

Schritt 5.1.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1.2.2.1

Multipliziere $v$ mit $v$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1.2.2.1.1

Bewege $v$ .

$\frac{d v}{d x} = x (v \cdot v)$

Schritt 5.1.2.2.1.2

Mutltipliziere $v$ mit $v$ .

$\frac{d v}{d x} = x v^{2}$

Schritt 5.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{v^{2}}$ .

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v^{2}} (x v^{2})$

Schritt 5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $v^{2}$ .

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $v^{2}$ aus $x v^{2}$ heraus.

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v^{2}} (v^{2} x)$

Schritt 5.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v^{2}} (v^{2} x)$

Schritt 5.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = x$

Schritt 5.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{v^{2}} d v = x d x$

Schritt 6

Integriere beide Seiten.

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Schritt 6.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{v^{2}} d v = \int x d x$

Schritt 6.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 6.2.1.1

Bringe $v^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int {(v^{2})}^{- 1} d v = \int x d x$

Schritt 6.2.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(v^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 6.2.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int v^{2 \cdot - 1} d v = \int x d x$

Schritt 6.2.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int v^{- 2} d v = \int x d x$

Schritt 6.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $v^{- 2}$ nach $v$ gleich $- v^{- 1}$ .

$- v^{- 1} + C_{1} = \int x d x$

Schritt 6.2.3

Schreibe $- v^{- 1} + C_{1}$ als $- \frac{1}{v} + C_{1}$ um.

$- \frac{1}{v} + C_{1} = \int x d x$

Schritt 6.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \frac{1}{v} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Schritt 6.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$- \frac{1}{v} = \frac{1}{2} x^{2} + K$

Schritt 7

Löse nach $v$ auf.

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Schritt 7.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$- \frac{1}{v} = \frac{x^{2}}{2} + K$

Schritt 7.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 7.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$v, 2, 1$

Schritt 7.2.2

Da $v, 2, 1$ sowohl Zahlen als auch Variablen enthält, sind zwei Schritte notwendig, um das kgV zu finden. Finde das kgV für den numerischen Teil $1, 2, 1$ und anschließend für den variablen Teil $v^{1}$ .

Schritt 7.2.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 7.2.4

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 7.2.5

Da $2$ keine Teiler außer $1$ und $2$ hat.

$2$ ist eine Primzahl

Schritt 7.2.6

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 7.2.7

Das kgV von $1, 2, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$2$

Schritt 7.2.8

Der Teiler von $v^{1}$ ist $v$ selbst.

$v^{1} = v$

$v$ occurs $1$ time.

Schritt 7.2.9

Das kgV von $v^{1}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$v$

Schritt 7.2.10

Das kgV von $v, 2, 1$ ist der numerische Teil $2$ multipliziert mit dem variablen Teil.

$2 v$

Schritt 7.3

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{v} = \frac{x^{2}}{2} + K$ mit $2 v$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 7.3.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{v} = \frac{x^{2}}{2} + K$ mit $2 v$ .

$- \frac{1}{v} (2 v) = \frac{x^{2}}{2} (2 v) + K (2 v)$

Schritt 7.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $v$ .

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Schritt 7.3.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{v}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{v} (2 v) = \frac{x^{2}}{2} (2 v) + K (2 v)$

Schritt 7.3.2.1.2

Faktorisiere $v$ aus $2 v$ heraus.

$\frac{- 1}{v} (v \cdot 2) = \frac{x^{2}}{2} (2 v) + K (2 v)$

Schritt 7.3.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{v} (v \cdot 2) = \frac{x^{2}}{2} (2 v) + K (2 v)$

Schritt 7.3.2.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- 1 \cdot 2 = \frac{x^{2}}{2} (2 v) + K (2 v)$

Schritt 7.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 = \frac{x^{2}}{2} (2 v) + K (2 v)$

Schritt 7.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.3.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 2 = 2 \frac{x^{2}}{2} v + K (2 v)$

Schritt 7.3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.3.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 2 = 2 \frac{x^{2}}{2} v + K (2 v)$

Schritt 7.3.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$- 2 = x^{2} v + K (2 v)$

Schritt 7.3.3.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 2 = x^{2} v + 2 K v$

Schritt 7.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 7.4.1

Schreibe die Gleichung als $x^{2} v + 2 K v = - 2$ um.

$x^{2} v + 2 K v = - 2$

Schritt 7.4.2

Faktorisiere $v$ aus $x^{2} v + 2 K v$ heraus.

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Schritt 7.4.2.1

Faktorisiere $v$ aus $x^{2} v$ heraus.

$v x^{2} + 2 K v = - 2$

Schritt 7.4.2.2

Faktorisiere $v$ aus $2 K v$ heraus.

$v (x^{2}) + v (2 K) = - 2$

Schritt 7.4.2.3

Faktorisiere $v$ aus $v (x^{2}) + v (2 K)$ heraus.

$v (x^{2} + 2 K) = - 2$

Schritt 7.4.3

Teile jeden Ausdruck in $v (x^{2} + 2 K) = - 2$ durch $x^{2} + 2 K$ und vereinfache.

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Schritt 7.4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $v (x^{2} + 2 K) = - 2$ durch $x^{2} + 2 K$ .

$\frac{v (x^{2} + 2 K)}{x^{2} + 2 K} = \frac{- 2}{x^{2} + 2 K}$

Schritt 7.4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} + 2 K$ .

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Schritt 7.4.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{v (x^{2} + 2 K)}{x^{2} + 2 K} = \frac{- 2}{x^{2} + 2 K}$

Schritt 7.4.3.2.1.2

Dividiere $v$ durch $1$ .

$v = \frac{- 2}{x^{2} + 2 K}$

Schritt 7.4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.4.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$v = - \frac{2}{x^{2} + 2 K}$

Schritt 8

Vereinfache die Konstante der Integration.

$v = - \frac{2}{x^{2} + K}$

Schritt 9

Ersetze alle $v$ durch $e^{x + y}$ .

$e^{x + y} = - \frac{2}{x^{2} + K}$

Schritt 10

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 10.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x + y}) = \ln (- \frac{2}{x^{2} + K})$

Schritt 10.2

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 10.2.1

Zerlege $\ln (e^{x + y})$ durch Herausziehen von $x + y$ aus dem Logarithmus.

$(x + y) \ln (e) = \ln (- \frac{2}{x^{2} + K})$

Schritt 10.2.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$(x + y) \cdot 1 = \ln (- \frac{2}{x^{2} + K})$

Schritt 10.2.3

Mutltipliziere $x + y$ mit $1$ .

$x + y = \ln (- \frac{2}{x^{2} + K})$

Schritt 10.3

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = \ln (- \frac{2}{x^{2} + K}) - x$