Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} - y x = x$ , $y (0) = 0$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Addiere $y x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d x} = x + y x$

Schritt 1.2

Faktorisiere $x$ aus $x + y x$ heraus.

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Schritt 1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{1} + y x$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = x \cdot 1 + y x$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $x$ aus $y x$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = x \cdot 1 + x y$

Schritt 1.2.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 1 + x y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = x (1 + y)$

Schritt 1.3

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{1 + y}$ .

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} (x (1 + y))$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + y$ .

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Schritt 1.4.1

Faktorisiere $1 + y$ aus $x (1 + y)$ heraus.

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} ((1 + y) x)$

Schritt 1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} ((1 + y) x)$

Schritt 1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = x$

Schritt 1.5

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{1 + y} d y = x d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{1 + y} d y = \int x d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Sei $u = 1 + y$ . Dann ist $d u = d y$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.2.1.1

Es sei $u = 1 + y$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Differenziere $1 + y$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y]$

Schritt 2.2.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.2.1.1.3

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.2.1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 1$

Schritt 2.2.1.1.5

Addiere $0$ und $1$ .

$1$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{u} d u = \int x d x$

Schritt 2.2.2

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int x d x$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $1 + y$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int x d x$

Schritt 2.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| 1 + y |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| 1 + y |)} = e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$

Schritt 3.2

Schreibe $\ln (| 1 + y |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{2} x^{2} + C} = | 1 + y |$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $| 1 + y | = e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$ um.

$| 1 + y | = e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$

Schritt 3.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$| 1 + y | = e^{\frac{x^{2}}{2} + C}$

Schritt 3.3.3

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$1 + y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} + C}$

Schritt 3.3.4

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} + C} - 1$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Schreibe $e^{\frac{x^{2}}{2} + C}$ als $e^{\frac{x^{2}}{2}} e^{C}$ um.

$y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2}} e^{C} - 1$

Schritt 4.2

Stelle $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ und $e^{C}$ um.

$y = \pm e^{C} e^{\frac{x^{2}}{2}} - 1$

Schritt 4.3

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = C e^{\frac{x^{2}}{2}} - 1$

Schritt 5

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $C$ zu finden indem $0$ für $x$ und $0$ für $y$ in $y = C e^{\frac{x^{2}}{2}} - 1$ ersetzt wird.

$0 = C e^{\frac{0^{2}}{2}} - 1$

Schritt 6

Löse nach $C$ auf.

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Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $C e^{\frac{0^{2}}{2}} - 1 = 0$ um.

$C e^{\frac{0^{2}}{2}} - 1 = 0$

Schritt 6.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$C e^{\frac{0}{2}} - 1 = 0$

Schritt 6.2.2

Dividiere $0$ durch $2$ .

$C e^{0} - 1 = 0$

Schritt 6.2.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$C \cdot 1 - 1 = 0$

Schritt 6.2.4

Mutltipliziere $C$ mit $1$ .

$C - 1 = 0$

Schritt 6.3

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$C = 1$

Schritt 7

Setze $1$ für $C$ in $y = C e^{\frac{x^{2}}{2}} - 1$ ein und vereinfache.

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Schritt 7.1

Ersetze $C$ durch $1$ .

$y = 1 e^{\frac{x^{2}}{2}} - 1$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ mit $1$ .

$y = e^{\frac{x^{2}}{2}} - 1$