Analysis Beispiele

$\frac{d x}{d y} = 2 y + x + 3$

Schritt 1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d x}{d y} - x = 2 y + 3$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (y) d y}$ , wobei $P (y) = - 1$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int - 1 d y}$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$e^{- y + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{- y}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{- y}$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{- y}$ .

$e^{- y} \frac{d x}{d y} + e^{- y} (- x) = e^{- y} (2 y) + e^{- y} \cdot 3$

Schritt 3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{- y} \frac{d x}{d y} - e^{- y} x = e^{- y} (2 y) + e^{- y} \cdot 3$

Schritt 3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{- y} \frac{d x}{d y} - e^{- y} x = 2 e^{- y} y + e^{- y} \cdot 3$

Schritt 3.3.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $e^{- y}$ .

$e^{- y} \frac{d x}{d y} - e^{- y} x = 2 e^{- y} y + 3 e^{- y}$

Schritt 3.4

Stelle die Faktoren in $e^{- y} \frac{d x}{d y} - e^{- y} x = 2 e^{- y} y + 3 e^{- y}$ um.

$e^{- y} \frac{d x}{d y} - x e^{- y} = 2 y e^{- y} + 3 e^{- y}$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d y} [e^{- y} x] = 2 y e^{- y} + 3 e^{- y}$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d y} [e^{- y} x] d y = \int 2 y e^{- y} + 3 e^{- y} d y$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$e^{- y} x = \int 2 y e^{- y} + 3 e^{- y} d y$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$e^{- y} x = \int 2 y e^{- y} d y + \int 3 e^{- y} d y$

Schritt 7.2

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$e^{- y} x = 2 \int y e^{- y} d y + \int 3 e^{- y} d y$

Schritt 7.3

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = y$ und $d v = e^{- y}$ .

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) - \int - e^{- y} d y) + \int 3 e^{- y} d y$

Schritt 7.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) - - \int e^{- y} d y) + \int 3 e^{- y} d y$

Schritt 7.5

Vereinfache.

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Schritt 7.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) + 1 \int e^{- y} d y) + \int 3 e^{- y} d y$

Schritt 7.5.2

Mutltipliziere $\int e^{- y} d y$ mit $1$ .

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) + \int e^{- y} d y) + \int 3 e^{- y} d y$

Schritt 7.6

Sei $u_{1} = - y$ . Dann ist $d u_{1} = - d y$ , folglich $- d u_{1} = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 7.6.1

Es sei $u_{1} = - y$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Schritt 7.6.1.1

Differenziere $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Schritt 7.6.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- y$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 7.6.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 7.6.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 7.6.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) + \int - e^{u_{1}} d u_{1}) + \int 3 e^{- y} d y$

Schritt 7.7

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) - \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int 3 e^{- y} d y$

Schritt 7.8

Das Integral von $e^{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $e^{u_{1}}$ .

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) - (e^{u_{1}} + C)) + \int 3 e^{- y} d y$

Schritt 7.9

Da $3$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) - (e^{u_{1}} + C)) + 3 \int e^{- y} d y$

Schritt 7.10

Sei $u_{2} = - y$ . Dann ist $d u_{2} = - d y$ , folglich $- d u_{2} = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 7.10.1

Es sei $u_{2} = - y$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d y}$ .

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Schritt 7.10.1.1

Differenziere $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Schritt 7.10.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- y$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 7.10.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 7.10.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 7.10.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) - (e^{u_{1}} + C)) + 3 \int - e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 7.11

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) - (e^{u_{1}} + C)) + 3 (- \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Schritt 7.12

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) - (e^{u_{1}} + C)) - 3 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 7.13

Das Integral von $e^{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $e^{u_{2}}$ .

$e^{- y} x = 2 (y (- e^{- y}) - (e^{u_{1}} + C)) - 3 (e^{u_{2}} + C)$

Schritt 7.14

Vereinfache.

$e^{- y} x = 2 (- y e^{- y} - e^{u_{1}}) - 3 e^{u_{2}} + C$

Schritt 7.15

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 7.15.1

Ersetze alle $u_{1}$ durch $- y$ .

$e^{- y} x = 2 (- y e^{- y} - e^{- y}) - 3 e^{u_{2}} + C$

Schritt 7.15.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $- y$ .

$e^{- y} x = 2 (- y e^{- y} - e^{- y}) - 3 e^{- y} + C$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $e^{- y} x = 2 (- y e^{- y} - e^{- y}) - 3 e^{- y} + C$ durch $e^{- y}$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{- y} x = 2 (- y e^{- y} - e^{- y}) - 3 e^{- y} + C$ durch $e^{- y}$ .

$\frac{e^{- y} x}{e^{- y}} = \frac{2 (- y e^{- y} - e^{- y})}{e^{- y}} + \frac{- 3 e^{- y}}{e^{- y}} + \frac{C}{e^{- y}}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- y}$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{- y} x}{e^{- y}} = \frac{2 (- y e^{- y} - e^{- y})}{e^{- y}} + \frac{- 3 e^{- y}}{e^{- y}} + \frac{C}{e^{- y}}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{2 (- y e^{- y} - e^{- y})}{e^{- y}} + \frac{- 3 e^{- y}}{e^{- y}} + \frac{C}{e^{- y}}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 (- y e^{- y} - e^{- y}) - 3 e^{- y} + C}{e^{- y}}$

Schritt 8.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{2 (- y e^{- y}) + 2 (- e^{- y}) - 3 e^{- y} + C}{e^{- y}}$

Schritt 8.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 (y e^{- y}) + 2 (- e^{- y}) - 3 e^{- y} + C}{e^{- y}}$

Schritt 8.3.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 y e^{- y} - 2 e^{- y} - 3 e^{- y} + C}{e^{- y}}$

Schritt 8.3.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 8.3.3.1

Subtrahiere $3 e^{- y}$ von $- 2 e^{- y}$ .

$x = \frac{- 2 y e^{- y} - 5 e^{- y} + C}{e^{- y}}$

Schritt 8.3.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 y e^{- y}$ heraus.

$x = \frac{- (2 y e^{- y}) - 5 e^{- y} + C}{e^{- y}}$

Schritt 8.3.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 5 e^{- y}$ heraus.

$x = \frac{- (2 y e^{- y}) - (5 e^{- y}) + C}{e^{- y}}$

Schritt 8.3.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 y e^{- y}) - (5 e^{- y})$ heraus.

$x = \frac{- (2 y e^{- y} + 5 e^{- y}) + C}{e^{- y}}$

Schritt 8.3.3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $C$ heraus.

$x = \frac{- (2 y e^{- y} + 5 e^{- y}) - 1 (- C)}{e^{- y}}$

Schritt 8.3.3.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 y e^{- y} + 5 e^{- y}) - 1 (- C)$ heraus.

$x = \frac{- (2 y e^{- y} + 5 e^{- y} - C)}{e^{- y}}$

Schritt 8.3.3.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.3.3.7.1

Schreibe $- (2 y e^{- y} + 5 e^{- y} - C)$ als $- 1 (2 y e^{- y} + 5 e^{- y} - C)$ um.

$x = \frac{- 1 (2 y e^{- y} + 5 e^{- y} - C)}{e^{- y}}$

Schritt 8.3.3.7.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{2 y e^{- y} + 5 e^{- y} - C}{e^{- y}}$