Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \cos (x) \csc (y)$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{\csc (y)}$ .

$\frac{1}{\csc (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\csc (y)} (\cos (x) \csc (y))$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\csc (y)$ .

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $\csc (y)$ aus $\cos (x) \csc (y)$ heraus.

$\frac{1}{\csc (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\csc (y)} (\csc (y) \cos (x))$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\csc (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\csc (y)} (\csc (y) \cos (x))$

Schritt 1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\csc (y)} \frac{d y}{d x} = \cos (x)$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{\csc (y)} d y = \cos (x) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{\csc (y)} d y = \int \cos (x) d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1.1

Schreibe $\csc (y)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\int \frac{1}{\frac{1}{\sin (y)}} d y = \int \cos (x) d x$

Schritt 2.2.1.2

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{\sin (y)}$ zu dividieren.

$\int 1 \sin (y) d y = \int \cos (x) d x$

Schritt 2.2.1.3

Mutltipliziere $\sin (y)$ mit $1$ .

$\int \sin (y) d y = \int \cos (x) d x$

Schritt 2.2.2

Das Integral von $\sin (y)$ nach $y$ ist $- \cos (y)$ .

$- \cos (y) + C_{1} = \int \cos (x) d x$

Schritt 2.3

Das Integral von $\cos (x)$ nach $x$ ist $\sin (x)$ .

$- \cos (y) + C_{1} = \sin (x) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$- \cos (y) = \sin (x) + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\sin (x) + K = - \cos (y)$ um.

$\sin (x) + K = - \cos (y)$

Schritt 3.2

Subtrahiere $K$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sin (x) = - \cos (y) - K$

Schritt 3.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (- \cos (y) - K)$

Schritt 3.4

Schreibe die Gleichung als $\arcsin (- \cos (y) - K) = x$ um.

$\arcsin (- \cos (y) - K) = x$

Schritt 3.5

Nimm den inversen Arcussinus von beiden Seiten der Gleichung, um $\cos (y)$ aus dem Arcussinus zu ziehen.

$- \cos (y) - K = \sin (x)$

Schritt 3.6

Addiere $K$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- \cos (y) = \sin (x) + K$

Schritt 3.7

Teile jeden Ausdruck in $- \cos (y) = \sin (x) + K$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.7.1

Teile jeden Ausdruck in $- \cos (y) = \sin (x) + K$ durch $- 1$ .

$\frac{- \cos (y)}{- 1} = \frac{\sin (x)}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Schritt 3.7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.7.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\cos (y)}{1} = \frac{\sin (x)}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Schritt 3.7.2.2

Dividiere $\cos (y)$ durch $1$ .

$\cos (y) = \frac{\sin (x)}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Schritt 3.7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.7.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.7.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\sin (x)}{- 1}$ .

$\cos (y) = - 1 \cdot \sin (x) + \frac{K}{- 1}$

Schritt 3.7.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot \sin (x)$ als $- \sin (x)$ um.

$\cos (y) = - \sin (x) + \frac{K}{- 1}$

Schritt 3.7.3.1.3

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{K}{- 1}$ .

$\cos (y) = - \sin (x) - 1 \cdot K$

Schritt 3.7.3.1.4

Schreibe $- 1 \cdot K$ als $- K$ um.

$\cos (y) = - \sin (x) - K$

Schritt 3.8

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$y = \arccos (- \sin (x) - K)$

Schritt 3.9

Da $y$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$\arcsin (- \cos (y) - K) = x$

Schritt 3.10

Nimm den inversen Arcussinus von beiden Seiten der Gleichung, um $\cos (y)$ aus dem Arcussinus zu ziehen.

$- \cos (y) - K = \sin (x)$

Schritt 3.11

Addiere $K$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- \cos (y) = \sin (x) + K$

Schritt 3.12

Teile jeden Ausdruck in $- \cos (y) = \sin (x) + K$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.12.1

Teile jeden Ausdruck in $- \cos (y) = \sin (x) + K$ durch $- 1$ .

$\frac{- \cos (y)}{- 1} = \frac{\sin (x)}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Schritt 3.12.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.12.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\cos (y)}{1} = \frac{\sin (x)}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Schritt 3.12.2.2

Dividiere $\cos (y)$ durch $1$ .

$\cos (y) = \frac{\sin (x)}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Schritt 3.12.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.12.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.12.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\sin (x)}{- 1}$ .

$\cos (y) = - 1 \cdot \sin (x) + \frac{K}{- 1}$

Schritt 3.12.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot \sin (x)$ als $- \sin (x)$ um.

$\cos (y) = - \sin (x) + \frac{K}{- 1}$

Schritt 3.12.3.1.3

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{K}{- 1}$ .

$\cos (y) = - \sin (x) - 1 \cdot K$

Schritt 3.12.3.1.4

Schreibe $- 1 \cdot K$ als $- K$ um.

$\cos (y) = - \sin (x) - K$

Schritt 3.13

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$y = \arccos (- \sin (x) - K)$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \arccos (- \sin (x) + K)$