Analysis Beispiele

$(1 + e^{x}) (y d) y = e^{x} d x$

Schritt 1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{1 + e^{x}}$ .

$\frac{1}{1 + e^{x}} ((1 + e^{x}) y) d y = \frac{1}{1 + e^{x}} e^{x} d x$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + e^{x}$ .

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $1 + e^{x}$ aus $(1 + e^{x}) y$ heraus.

$\frac{1}{1 + e^{x}} ((1 + e^{x}) (y)) d y = \frac{1}{1 + e^{x}} e^{x} d x$

Schritt 2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{1 + e^{x}} ((1 + e^{x}) y) d y = \frac{1}{1 + e^{x}} e^{x} d x$

Schritt 2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$y d y = \frac{1}{1 + e^{x}} e^{x} d x$

Schritt 2.2

Kombiniere $\frac{1}{1 + e^{x}}$ und $e^{x}$ .

$y d y = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} d x$

Schritt 3

Integriere beide Seiten.

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Schritt 3.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int y d y = \int \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} d x$

Schritt 3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} d x$

Schritt 3.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Sei $u = 1 + e^{x}$ . Dann ist $d u = e^{x} d x$ , folglich $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 3.3.1.1

Es sei $u = 1 + e^{x}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 3.3.1.1.1

Differenziere $1 + e^{x}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

Schritt 3.3.1.1.2

Differenziere.

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Schritt 3.3.1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + e^{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 3.3.1.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 3.3.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$0 + e^{x}$

Schritt 3.3.1.1.4

Addiere $0$ und $e^{x}$ .

$e^{x}$

Schritt 3.3.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 3.3.2

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

Schritt 3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $1 + e^{x}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \ln (| 1 + e^{x} |) + C_{2}$

Schritt 3.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\frac{1}{2} y^{2} = \ln (| 1 + e^{x} |) + C$

Schritt 4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\ln (| 1 + e^{x} |) + C)$

Schritt 4.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Schritt 4.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\ln (| 1 + e^{x} |) + C)$

Schritt 4.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\ln (| 1 + e^{x} |) + C)$

Schritt 4.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = 2 (\ln (| 1 + e^{x} |) + C)$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} = 2 \ln (| 1 + e^{x} |) + 2 C$

Schritt 4.3

Vereinfache $2 \ln (| 1 + e^{x} |)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$y^{2} = \ln ({| 1 + e^{x} |}^{2}) + 2 C$

Schritt 4.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{\ln ({| 1 + e^{x} |}^{2}) + 2 C}$

Schritt 4.5

Entferne den Absolutwert in ${| 1 + e^{x} |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$y = \pm \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

Schritt 4.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

Schritt 4.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

Schritt 4.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

Schritt 5

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + C}$

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + e^{x})}^{2}) + C}$