Analysis Beispiele

$\frac{d s}{d t} = 12 t {(2 t^{2} - 1)}^{3}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d s = 12 t {(2 t^{2} - 1)}^{3} d t$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d s = \int 12 t {(2 t^{2} - 1)}^{3} d t$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$s + C_{1} = \int 12 t {(2 t^{2} - 1)}^{3} d t$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $12$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $12$ aus dem Integral.

$s + C_{1} = 12 \int t {(2 t^{2} - 1)}^{3} d t$

Schritt 2.3.2

Sei $u = 2 t^{2} - 1$ . Dann ist $d u = 4 t d t$ , folglich $\frac{1}{4} d u = t d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.2.1

Es sei $u = 2 t^{2} - 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Differenziere $2 t^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d t} [2 t^{2} - 1]$

Schritt 2.3.2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 t^{2} - 1$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]$

Schritt 2.3.2.1.3

Berechne $\frac{d}{d t} [2 t^{2}]$ .

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Schritt 2.3.2.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2 t^{2}$ nach $t$ gleich $2 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]$

Schritt 2.3.2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 1]$

Schritt 2.3.2.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 t + \frac{d}{d t} [- 1]$

Schritt 2.3.2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.3.2.1.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$4 t + 0$

Schritt 2.3.2.1.4.2

Addiere $4 t$ und $0$ .

$4 t$

Schritt 2.3.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$s + C_{1} = 12 \int u^{3} \frac{1}{4} d u$

Schritt 2.3.3

Kombiniere $u^{3}$ und $\frac{1}{4}$ .

$s + C_{1} = 12 \int \frac{u^{3}}{4} d u$

Schritt 2.3.4

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$s + C_{1} = 12 (\frac{1}{4} \int u^{3} d u)$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $12$ .

$s + C_{1} = \frac{12}{4} \int u^{3} d u$

Schritt 2.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $4$ .

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Schritt 2.3.5.2.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$s + C_{1} = \frac{4 \cdot 3}{4} \int u^{3} d u$

Schritt 2.3.5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.5.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$s + C_{1} = \frac{4 \cdot 3}{4 (1)} \int u^{3} d u$

Schritt 2.3.5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$s + C_{1} = \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 1} \int u^{3} d u$

Schritt 2.3.5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$s + C_{1} = \frac{3}{1} \int u^{3} d u$

Schritt 2.3.5.2.2.4

Dividiere $3$ durch $1$ .

$s + C_{1} = 3 \int u^{3} d u$

Schritt 2.3.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{3}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$s + C_{1} = 3 (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$

Schritt 2.3.7

Vereinfache.

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Schritt 2.3.7.1

Schreibe $3 (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$ als $3 (\frac{1}{4}) u^{4} + C_{2}$ um.

$s + C_{1} = 3 (\frac{1}{4}) u^{4} + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{4}$ .

$s + C_{1} = \frac{3}{4} u^{4} + C_{2}$

Schritt 2.3.8

Ersetze alle $u$ durch $2 t^{2} - 1$ .

$s + C_{1} = \frac{3}{4} {(2 t^{2} - 1)}^{4} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$s = \frac{3}{4} {(2 t^{2} - 1)}^{4} + K$