Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d t} = \frac{3 t^{2}}{y}$ , $y (2) = 0$

Schritt 1

Schreibe das Problem als einen mathematischen Ausdruck.

$\frac{d y}{d t} = \frac{3 t^{2}}{y}$ , $y (2) = 0$

Schritt 2

Separiere die Variablen.

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Schritt 2.1

Multipliziere beide Seiten mit $y$ .

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{3 t^{2}}{y}$

Schritt 2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{3 t^{2}}{y}$

Schritt 2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y \frac{d y}{d t} = 3 t^{2}$

Schritt 2.3

Schreibe die Gleichung um.

$y d y = 3 t^{2} d t$

Schritt 3

Integriere beide Seiten.

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Schritt 3.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int y d y = \int 3 t^{2} d t$

Schritt 3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int 3 t^{2} d t$

Schritt 3.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 \int t^{2} d t$

Schritt 3.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{2}$ nach $t$ gleich $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} t^{3} + C_{2})$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.3.3.1

Schreibe $3 (\frac{1}{3} t^{3} + C_{2})$ als $3 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{2}$ um.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{2}$

Schritt 3.3.3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.3.3.2.1

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{3} t^{3} + C_{2}$

Schritt 3.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{3} t^{3} + C_{2}$

Schritt 3.3.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 1 t^{3} + C_{2}$

Schritt 3.3.3.2.3

Mutltipliziere $t^{3}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = t^{3} + C_{2}$

Schritt 3.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{2} y^{2} = t^{3} + K$

Schritt 4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (t^{3} + K)$

Schritt 4.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Schritt 4.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (t^{3} + K)$

Schritt 4.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (t^{3} + K)$

Schritt 4.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = 2 (t^{3} + K)$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} = 2 t^{3} + 2 K$

Schritt 4.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{2 t^{3} + 2 K}$

Schritt 4.4

Faktorisiere $2$ aus $2 t^{3} + 2 K$ heraus.

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Schritt 4.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 t^{3}$ heraus.

$y = \pm \sqrt{2 (t^{3}) + 2 K}$

Schritt 4.4.2

Faktorisiere $2$ aus $2 K$ heraus.

$y = \pm \sqrt{2 (t^{3}) + 2 K}$

Schritt 4.4.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (t^{3}) + 2 K$ heraus.

$y = \pm \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

Schritt 4.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

Schritt 4.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

Schritt 4.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

$y = \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

$y = \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

Schritt 5

Da $y$ nicht-negativ in der Anfangsbedingung $(2, 0)$ ist, betrachte nur $y = \sqrt{2 (t^{3} + K)}$ um $K$ zu finden. Ersetze $2$ für $t$ und $0$ für $y$ .

$0 = \sqrt{2 (2^{3} + K)}$

Schritt 6

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt{2 (2^{3} + K)} = 0$ um.

$\sqrt{2 (2^{3} + K)} = 0$

Schritt 6.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{2 (2^{3} + K)}}^{2} = 0^{2}$

Schritt 6.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 6.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 (2^{3} + K)}$ als ${(2 (2^{3} + K))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(2 (2^{3} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.1

Vereinfache ${({(2 (2^{3} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.3.2.1.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.3.2.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(2 (2^{3} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.3.2.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 (2^{3} + K))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.2.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(2 (2^{3} + K))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(2 (2^{3} + K))}^{1} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.1.1.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

${(2 (8 + K))}^{1} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

${(2 \cdot 8 + 2 K)}^{1} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.1.3

Multipliziere.

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Schritt 6.3.2.1.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

${(16 + 2 K)}^{1} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.1.3.2

Vereinfache.

$16 + 2 K = 0^{2}$

Schritt 6.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$16 + 2 K = 0$

Schritt 6.4

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 6.4.1

Subtrahiere $16$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 K = - 16$

Schritt 6.4.2

Teile jeden Ausdruck in $2 K = - 16$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 6.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 K = - 16$ durch $2$ .

$\frac{2 K}{2} = \frac{- 16}{2}$

Schritt 6.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 K}{2} = \frac{- 16}{2}$

Schritt 6.4.2.2.1.2

Dividiere $K$ durch $1$ .

$K = \frac{- 16}{2}$

Schritt 6.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.4.2.3.1

Dividiere $- 16$ durch $2$ .

$K = - 8$

Schritt 7

Setze $- 8$ für $K$ in $y = \sqrt{2 (t^{3} + K)}$ ein und vereinfache.

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Schritt 7.1

Ersetze $K$ durch $- 8$ .

$y = \sqrt{2 (t^{3} - 8)}$

Schritt 7.2

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$y = \sqrt{2 (t^{3} - 2^{3})}$

Schritt 7.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = t$ und $b = 2$ .

$y = \sqrt{2 ((t - 2) (t^{2} + t \cdot 2 + 2^{2}))}$

Schritt 7.4

Vereinfache.

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Schritt 7.4.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $t$ .

$y = \sqrt{2 ((t - 2) (t^{2} + 2 \cdot t + 2^{2}))}$

Schritt 7.4.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = \sqrt{2 ((t - 2) (t^{2} + 2 t + 4))}$

$y = \sqrt{2 (t - 2) (t^{2} + 2 t + 4)}$