Analysis Beispiele

$(y + 4) d x + x d y = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $(y + 4) d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x d y = - (y + 4) d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{x (y + 4)}$ .

$\frac{1}{x (y + 4)} x d y = \frac{1}{x (y + 4)} (- (y + 4)) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{x (y + 4)} x d y = \frac{1}{x (y + 4)} (- (y + 4)) d x$

Schritt 3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y + 4} d y = \frac{1}{x (y + 4)} (- (y + 4)) d x$

Schritt 3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{y + 4} d y = - \frac{1}{x (y + 4)} (y + 4) d x$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y + 4$ .

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Schritt 3.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{x (y + 4)}$ in den Zähler.

$\frac{1}{y + 4} d y = \frac{- 1}{x (y + 4)} (y + 4) d x$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere $y + 4$ aus $x (y + 4)$ heraus.

$\frac{1}{y + 4} d y = \frac{- 1}{(y + 4) x} (y + 4) d x$

Schritt 3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y + 4} d y = \frac{- 1}{(y + 4) x} (y + 4) d x$

Schritt 3.3.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y + 4} d y = \frac{- 1}{x} d x$

Schritt 3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{y + 4} d y = - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

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Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y + 4} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Sei $u = y + 4$ . Dann ist $d u = d y$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.2.1.1

Es sei $u = y + 4$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 4.2.1.1.1

Differenziere $y + 4$ .

$\frac{d}{d y} [y + 4]$

Schritt 4.2.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y + 4$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [4]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [4]$

Schritt 4.2.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [4]$

Schritt 4.2.1.1.4

Da $4$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 4.2.1.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 4.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2.2

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y + 4$ .

$\ln (| y + 4 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\ln (| y + 4 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.3.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y + 4 |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Schritt 4.3.3

Vereinfache.

$\ln (| y + 4 |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y + 4 |) = - \ln (| x |) + C$

Schritt 5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| y + 4 |) + \ln (| x |) = C$

Schritt 5.2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y + 4 | | x |) = C$

Schritt 5.3

Um Absolutwerte zu multiplizieren, multipliziere die Terme innerhalb jedes Absolutwerts.

$\ln (| (y + 4) x |) = C$

Schritt 5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| y x + 4 x |) = C$

Schritt 5.5

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| y x + 4 x |)} = e^{C}$

Schritt 5.6

Schreibe $\ln (| y x + 4 x |) = C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | y x + 4 x |$

Schritt 5.7

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.7.1

Schreibe die Gleichung als $| y x + 4 x | = e^{C}$ um.

$| y x + 4 x | = e^{C}$

Schritt 5.7.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y x + 4 x = \pm e^{C}$

Schritt 5.7.3

Subtrahiere $4 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y x = \pm e^{C} - 4 x$

Schritt 5.7.4

Teile jeden Ausdruck in $y x = \pm e^{C} - 4 x$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 5.7.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y x = \pm e^{C} - 4 x$ durch $x$ .

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- 4 x}{x}$

Schritt 5.7.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.7.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.7.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- 4 x}{x}$

Schritt 5.7.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- 4 x}{x}$

Schritt 5.7.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.7.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.7.4.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- 4 x}{x}$

Schritt 5.7.4.3.1.2

Dividiere $- 4$ durch $1$ .

$y = \frac{\pm e^{C}}{x} - 4$

Schritt 6

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{C}{x} - 4$