Analysis Beispiele

$\frac{d P}{d t} = \frac{1}{10} P - \frac{1}{5000} P^{2}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{\frac{1}{10} P - \frac{1}{5000} P^{2}}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{10} P - \frac{1}{5000} P^{2}} \frac{d P}{d t} = \frac{1}{\frac{1}{10} P - \frac{1}{5000} P^{2}} (\frac{1}{10} P - \frac{1}{5000} P^{2})$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\frac{1}{10} P - \frac{1}{5000} P^{2}$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\frac{1}{10} P - \frac{1}{5000} P^{2}} \frac{d P}{d t} = \frac{1}{\frac{1}{10} P - \frac{1}{5000} P^{2}} (\frac{1}{10} P - \frac{1}{5000} P^{2})$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\frac{1}{10} P - \frac{1}{5000} P^{2}} \frac{d P}{d t} = 1$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{\frac{1}{10} P - \frac{1}{5000} P^{2}} d P = 1 d t$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{\frac{1}{10} P - \frac{1}{5000} P^{2}} d P = \int d t$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.2.1.1.1

Faktorisiere $P$ aus $\frac{1}{10} P - \frac{1}{5000} P^{2}$ heraus.

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Schritt 2.2.1.1.1.1

Faktorisiere $P$ aus $\frac{1}{10} P$ heraus.

$\int \frac{1}{P \frac{1}{10} - \frac{1}{5000} P^{2}} d P = \int d t$

Schritt 2.2.1.1.1.2

Faktorisiere $P$ aus $- \frac{1}{5000} P^{2}$ heraus.

$\int \frac{1}{P \frac{1}{10} + P (- \frac{1}{5000} P)} d P = \int d t$

Schritt 2.2.1.1.1.3

Faktorisiere $P$ aus $P \frac{1}{10} + P (- \frac{1}{5000} P)$ heraus.

$\int \frac{1}{P (\frac{1}{10} - \frac{1}{5000} P)} d P = \int d t$

Schritt 2.2.1.1.2

Kombiniere $P$ und $\frac{1}{5000}$ .

$\int \frac{1}{P (\frac{1}{10} - \frac{P}{5000})} d P = \int d t$

Schritt 2.2.1.1.3

Um $\frac{1}{10}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{500}{500}$ .

$\int \frac{1}{P (\frac{1}{10} \cdot \frac{500}{500} - \frac{P}{5000})} d P = \int d t$

Schritt 2.2.1.1.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $5000$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.2.1.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{10}$ mit $\frac{500}{500}$ .

$\int \frac{1}{P (\frac{500}{10 \cdot 500} - \frac{P}{5000})} d P = \int d t$

Schritt 2.2.1.1.4.2

Mutltipliziere $10$ mit $500$ .

$\int \frac{1}{P (\frac{500}{5000} - \frac{P}{5000})} d P = \int d t$

Schritt 2.2.1.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int \frac{1}{P \frac{500 - P}{5000}} d P = \int d t$

Schritt 2.2.1.2

Kombiniere $P$ und $\frac{500 - P}{5000}$ .

$\int \frac{1}{\frac{P (500 - P)}{5000}} d P = \int d t$

Schritt 2.2.1.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\int 1 \frac{5000}{P (500 - P)} d P = \int d t$

Schritt 2.2.1.4

Mutltipliziere $\frac{5000}{P (500 - P)}$ mit $1$ .

$\int \frac{5000}{P (500 - P)} d P = \int d t$

Schritt 2.2.2

Da $5000$ konstant bezüglich $P$ ist, ziehe $5000$ aus dem Integral.

$5000 \int \frac{1}{P (500 - P)} d P = \int d t$

Schritt 2.2.3

Schreibe den Bruch mithilfe der Teilbruchzerlegung.

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Schritt 2.2.3.1

Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.

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Schritt 2.2.3.1.1

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor im Nenner linear ist, setze eine einzelne Variable für den Zähler ein $B$ .

$\frac{A}{P} + \frac{B}{500 - P}$

Schritt 2.2.3.1.2

Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich $P (500 - P)$ .

$\frac{1 (P (500 - P))}{P (500 - P)} = \frac{A (P (500 - P))}{P} + \frac{(B) (P (500 - P))}{500 - P}$

Schritt 2.2.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $P$ .

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Schritt 2.2.3.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 (P (500 - P))}{P (500 - P)} = \frac{A (P (500 - P))}{P} + \frac{(B) (P (500 - P))}{500 - P}$

Schritt 2.2.3.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 (500 - P)}{500 - P} = \frac{A (P (500 - P))}{P} + \frac{(B) (P (500 - P))}{500 - P}$

Schritt 2.2.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $500 - P$ .

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Schritt 2.2.3.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 (500 - P)}{500 - P} = \frac{A (P (500 - P))}{P} + \frac{(B) (P (500 - P))}{500 - P}$

Schritt 2.2.3.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = \frac{A (P (500 - P))}{P} + \frac{(B) (P (500 - P))}{500 - P}$

Schritt 2.2.3.1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.3.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $P$ .

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Schritt 2.2.3.1.5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 = \frac{A (P (500 - P))}{P} + \frac{(B) (P (500 - P))}{500 - P}$

Schritt 2.2.3.1.5.1.2

Dividiere $A (500 - P)$ durch $1$ .

$1 = A (500 - P) + \frac{(B) (P (500 - P))}{500 - P}$

Schritt 2.2.3.1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = A \cdot 500 + A (- P) + \frac{(B) (P (500 - P))}{500 - P}$

Schritt 2.2.3.1.5.3

Bringe $500$ auf die linke Seite von $A$ .

$1 = 500 \cdot A + A (- P) + \frac{(B) (P (500 - P))}{500 - P}$

Schritt 2.2.3.1.5.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$1 = 500 \cdot A - A P + \frac{(B) (P (500 - P))}{500 - P}$

Schritt 2.2.3.1.5.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $500 - P$ .

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Schritt 2.2.3.1.5.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 = 500 A - A P + \frac{B (P (500 - P))}{500 - P}$

Schritt 2.2.3.1.5.5.2

Dividiere $(B) (P)$ durch $1$ .

$1 = 500 A - A P + (B) (P)$

$1 = 500 A - A P + B P$

Schritt 2.2.3.1.6

Bewege $500 A$ .

$1 = - A P + B P + 500 A$

Schritt 2.2.3.2

Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

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Schritt 2.2.3.2.1

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $P$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$0 = - 1 A + B$

Schritt 2.2.3.2.2

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die $P$ nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$1 = 500 A$

Schritt 2.2.3.2.3

Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.

$0 = - 1 A + B$

$1 = 500 A$

$0 = - 1 A + B$

$1 = 500 A$

Schritt 2.2.3.3

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 2.2.3.3.1

Löse in $1 = 500 A$ nach $A$ auf.

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Schritt 2.2.3.3.1.1

Schreibe die Gleichung als $500 A = 1$ um.

$500 A = 1$

$0 = - 1 A + B$

Schritt 2.2.3.3.1.2

Teile jeden Ausdruck in $500 A = 1$ durch $500$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.3.3.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $500 A = 1$ durch $500$ .

$\frac{500 A}{500} = \frac{1}{500}$

$0 = - 1 A + B$

Schritt 2.2.3.3.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.3.3.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $500$ .

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Schritt 2.2.3.3.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{500 A}{500} = \frac{1}{500}$

$0 = - 1 A + B$

Schritt 2.2.3.3.1.2.2.1.2

Dividiere $A$ durch $1$ .

$A = \frac{1}{500}$

$0 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{500}$

$0 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{500}$

$0 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{500}$

$0 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{500}$

$0 = - 1 A + B$

Schritt 2.2.3.3.2

Ersetze alle Vorkommen von $A$ durch $\frac{1}{500}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.2.3.3.2.1

Ersetze alle $A$ in $0 = - 1 A + B$ durch $\frac{1}{500}$ .

$0 = - 1 (\frac{1}{500}) + B$

$A = \frac{1}{500}$

Schritt 2.2.3.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.3.2.2.1

Schreibe $- 1 (\frac{1}{500})$ als $- (\frac{1}{500})$ um.

$0 = - \frac{1}{500} + B$

$A = \frac{1}{500}$

$0 = - \frac{1}{500} + B$

$A = \frac{1}{500}$

$0 = - \frac{1}{500} + B$

$A = \frac{1}{500}$

Schritt 2.2.3.3.3

Löse in $0 = - \frac{1}{500} + B$ nach $B$ auf.

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Schritt 2.2.3.3.3.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{1}{500} + B = 0$ um.

$- \frac{1}{500} + B = 0$

$A = \frac{1}{500}$

Schritt 2.2.3.3.3.2

Addiere $\frac{1}{500}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$B = \frac{1}{500}$

$A = \frac{1}{500}$

$B = \frac{1}{500}$

$A = \frac{1}{500}$

Schritt 2.2.3.3.4

Löse das Gleichungssystem.

$B = \frac{1}{500} A = \frac{1}{500}$

Schritt 2.2.3.3.5

Liste alle Lösungen auf.

$B = \frac{1}{500}, A = \frac{1}{500}$

Schritt 2.2.3.4

Ersetze jeden der Teilbruchkoeffizienten in $\frac{A}{P} + \frac{B}{500 - P}$ durch die Werte, die für $A$ und $B$ ermittelt wurden.

$\frac{\frac{1}{500}}{P} + \frac{\frac{1}{500}}{500 - P}$

Schritt 2.2.3.5

Vereinfache.

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Schritt 2.2.3.5.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{1}{500} \cdot \frac{1}{P} + \frac{\frac{1}{500}}{500 - P}$

Schritt 2.2.3.5.2

Mutltipliziere $\frac{1}{500}$ mit $\frac{1}{P}$ .

$\frac{1}{500 P} + \frac{\frac{1}{500}}{500 - P}$

Schritt 2.2.3.5.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{1}{500 P} + \frac{1}{500} \cdot \frac{1}{500 - P}$

Schritt 2.2.3.5.4

Mutltipliziere $\frac{1}{500}$ mit $\frac{1}{500 - P}$ .

$5000 \int \frac{1}{500 P} + \frac{1}{500 (500 - P)} d P = \int d t$

Schritt 2.2.4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$5000 (\int \frac{1}{500 P} d P + \int \frac{1}{500 (500 - P)} d P) = \int d t$

Schritt 2.2.5

Da $\frac{1}{500}$ konstant bezüglich $P$ ist, ziehe $\frac{1}{500}$ aus dem Integral.

$5000 (\frac{1}{500} \int \frac{1}{P} d P + \int \frac{1}{500 (500 - P)} d P) = \int d t$

Schritt 2.2.6

Das Integral von $\frac{1}{P}$ nach $P$ ist $\ln (| P |)$ .

$5000 (\frac{1}{500} (\ln (| P |) + C_{1}) + \int \frac{1}{500 (500 - P)} d P) = \int d t$

Schritt 2.2.7

Da $\frac{1}{500}$ konstant bezüglich $P$ ist, ziehe $\frac{1}{500}$ aus dem Integral.

$5000 (\frac{1}{500} (\ln (| P |) + C_{1}) + \frac{1}{500} \int \frac{1}{500 - P} d P) = \int d t$

Schritt 2.2.8

Sei $u = 500 - P$ . Dann ist $d u = - d P$ , folglich $- d u = d P$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.2.8.1

Es sei $u = 500 - P$ . Ermittle $\frac{d u}{d P}$ .

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Schritt 2.2.8.1.1

Forme um.

$\frac{- 1}{1}$

Schritt 2.2.8.1.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- 1$

Schritt 2.2.8.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$5000 (\frac{1}{500} (\ln (| P |) + C_{1}) + \frac{1}{500} \int \frac{- 1}{u} d u) = \int d t$

Schritt 2.2.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$5000 (\frac{1}{500} (\ln (| P |) + C_{1}) + \frac{1}{500} \int - \frac{1}{u} d u) = \int d t$

Schritt 2.2.10

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$5000 (\frac{1}{500} (\ln (| P |) + C_{1}) + \frac{1}{500} (- \int \frac{1}{u} d u)) = \int d t$

Schritt 2.2.11

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$5000 (\frac{1}{500} (\ln (| P |) + C_{1}) + \frac{1}{500} (- (\ln (| u |) + C_{2}))) = \int d t$

Schritt 2.2.12

Vereinfache.

$5000 (\frac{\ln (| P |)}{500} - \frac{\ln (| u |)}{500}) + C_{3} = \int d t$

Schritt 2.2.13

Ersetze alle $u$ durch $500 - P$ .

$5000 (\frac{\ln (| P |)}{500} - \frac{\ln (| 500 - P |)}{500}) + C_{3} = \int d t$

Schritt 2.2.14

Vereinfache.

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Schritt 2.2.14.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$5000 \frac{\ln (| P |) - \ln (| 500 - P |)}{500} + C_{3} = \int d t$

Schritt 2.2.14.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$5000 \frac{\ln (\frac{| P |}{| 500 - P |})}{500} + C_{3} = \int d t$

Schritt 2.2.14.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $500$ .

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Schritt 2.2.14.3.1

Faktorisiere $500$ aus $5000$ heraus.

$500 (10) \frac{\ln (\frac{| P |}{| 500 - P |})}{500} + C_{3} = \int d t$

Schritt 2.2.14.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$500 \cdot 10 \frac{\ln (\frac{| P |}{| 500 - P |})}{500} + C_{3} = \int d t$

Schritt 2.2.14.3.3

Forme den Ausdruck um.

$10 \ln (\frac{| P |}{| 500 - P |}) + C_{3} = \int d t$

Schritt 2.3

Wende die Konstantenregel an.

$10 \ln (\frac{| P |}{| 500 - P |}) + C_{3} = t + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$10 \ln (\frac{| P |}{| 500 - P |}) = t + C$

Schritt 3

Löse nach $P$ auf.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $10 \ln (\frac{| P |}{| 500 - P |}) = t + C$ durch $10$ und vereinfache.

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Schritt 3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $10 \ln (\frac{| P |}{| 500 - P |}) = t + C$ durch $10$ .

$\frac{10 \ln (\frac{| P |}{| 500 - P |})}{10} = \frac{t}{10} + \frac{C}{10}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

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Schritt 3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{10 \ln (\frac{| P |}{| 500 - P |})}{10} = \frac{t}{10} + \frac{C}{10}$

Schritt 3.1.2.1.2

Dividiere $\ln (\frac{| P |}{| 500 - P |})$ durch $1$ .

$\ln (\frac{| P |}{| 500 - P |}) = \frac{t}{10} + \frac{C}{10}$

Schritt 3.2

Um nach $P$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (\frac{| P |}{| 500 - P |})} = e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}}$

Schritt 3.3

Schreibe $\ln (\frac{| P |}{| 500 - P |}) = \frac{t}{10} + \frac{C}{10}$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}} = \frac{| P |}{| 500 - P |}$

Schritt 3.4

Löse nach $P$ auf.

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Schritt 3.4.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{| P |}{| 500 - P |} = e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}}$ um.

$\frac{| P |}{| 500 - P |} = e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}}$

Schritt 3.4.2

Multipliziere beide Seiten mit $| 500 - P |$ .

$\frac{| P |}{| 500 - P |} | 500 - P | = e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}} | 500 - P |$

Schritt 3.4.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $| 500 - P |$ .

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Schritt 3.4.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{| P |}{| 500 - P |} | 500 - P | = e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}} | 500 - P |$

Schritt 3.4.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$| P | = e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}} | 500 - P |$

Schritt 3.4.4

Löse nach $P$ auf.

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Schritt 3.4.4.1

Schreibe die Gleichung als $e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}} | 500 - P | = | P |$ um.

$e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}} | 500 - P | = | P |$

Schritt 3.4.4.2

Teile jeden Ausdruck in $e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}} | 500 - P | = | P |$ durch $e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}}$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}} | 500 - P | = | P |$ durch $e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}}$ .

$\frac{e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}} | 500 - P |}{e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}}} = \frac{| P |}{e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}}}$

Schritt 3.4.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}}$ .

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Schritt 3.4.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}} | 500 - P |}{e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}}} = \frac{| P |}{e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}}}$

Schritt 3.4.4.2.2.1.2

Dividiere $| 500 - P |$ durch $1$ .

$| 500 - P | = \frac{| P |}{e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}}}$

Schritt 3.4.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.4.2.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$| 500 - P | = \frac{| P |}{e^{\frac{t + C}{10}}}$

Schritt 3.4.4.3

Schreibe die Betragsgleichung als vier Gleichungen ohne Absolutwerte.

$500 - P = \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}}$

$500 - P = - \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}}$

$- (500 - P) = \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}}$

$- (500 - P) = - \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}}$

Schritt 3.4.4.4

Nach dem Vereinfachen gibt es nur zwei eindeutige Gleichungen, die gelöst werden müssen.

$500 - P = \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}}$

$500 - P = - \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}}$

Schritt 3.4.4.5

Löse $500 - P = \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}}$ nach $P$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.4.5.1

Multipliziere beide Seiten mit $e^{\frac{t + C}{10}}$ .

$(500 - P) e^{\frac{t + C}{10}} = \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}} e^{\frac{t + C}{10}}$

Schritt 3.4.4.5.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.4.5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.4.5.2.1.1

Vereinfache $(500 - P) e^{\frac{t + C}{10}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.4.5.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$500 e^{\frac{t + C}{10}} - P e^{\frac{t + C}{10}} = \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}} e^{\frac{t + C}{10}}$

Schritt 3.4.4.5.2.1.1.2

Vereinfache durch Vertauschen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.4.5.2.1.1.2.1

Stelle $t$ und $C$ um.

$500 e^{\frac{C + t}{10}} - P e^{\frac{t + C}{10}} = \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}} e^{\frac{t + C}{10}}$

Schritt 3.4.4.5.2.1.1.2.2

Stelle $t$ und $C$ um.

$500 e^{\frac{C + t}{10}} - P e^{\frac{C + t}{10}} = \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}} e^{\frac{t + C}{10}}$

Schritt 3.4.4.5.2.1.1.2.3

Stelle $500 e^{\frac{C + t}{10}}$ und $- P e^{\frac{C + t}{10}}$ um.

$- P e^{\frac{C + t}{10}} + 500 e^{\frac{C + t}{10}} = \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}} e^{\frac{t + C}{10}}$

Schritt 3.4.4.5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.4.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{\frac{t + C}{10}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.4.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- P e^{\frac{C + t}{10}} + 500 e^{\frac{C + t}{10}} = \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}} e^{\frac{t + C}{10}}$

Schritt 3.4.4.5.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$- P e^{\frac{C + t}{10}} + 500 e^{\frac{C + t}{10}} = P$

Schritt 3.4.4.5.3

Löse nach $P$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.4.5.3.1

Subtrahiere $P$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- P e^{\frac{C + t}{10}} + 500 e^{\frac{C + t}{10}} - P = 0$

Schritt 3.4.4.5.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $P$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.4.5.3.2.1

Subtrahiere $500 e^{\frac{C + t}{10}}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- P e^{\frac{C + t}{10}} - P = - 500 e^{\frac{C + t}{10}}$

Schritt 3.4.4.5.3.2.2

Zerlege den Bruch $\frac{C + t}{10}$ in zwei Brüche.

$- P e^{\frac{C + t}{10}} - P = - 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}$

Schritt 3.4.4.5.3.3

Faktorisiere $P$ aus $- P e^{\frac{C + t}{10}} - P$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.4.5.3.3.1

Faktorisiere $P$ aus $- P e^{\frac{C + t}{10}}$ heraus.

$P (- 1 e^{\frac{C + t}{10}}) - P = - 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}$

Schritt 3.4.4.5.3.3.2

Faktorisiere $P$ aus $- P$ heraus.

$P (- 1 e^{\frac{C + t}{10}}) + P \cdot - 1 = - 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}$

Schritt 3.4.4.5.3.3.3

Faktorisiere $P$ aus $P (- 1 e^{\frac{C + t}{10}}) + P \cdot - 1$ heraus.

$P (- 1 e^{\frac{C + t}{10}} - 1) = - 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}$

Schritt 3.4.4.5.3.4

Schreibe $- 1 e^{\frac{C + t}{10}}$ als $- e^{\frac{C + t}{10}}$ um.

$P (- e^{\frac{C + t}{10}} - 1) = - 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}$

Schritt 3.4.4.5.3.5

Teile jeden Ausdruck in $P (- e^{\frac{C + t}{10}} - 1) = - 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}$ durch $- e^{\frac{C + t}{10}} - 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.4.5.3.5.1

Teile jeden Ausdruck in $P (- e^{\frac{C + t}{10}} - 1) = - 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}$ durch $- e^{\frac{C + t}{10}} - 1$ .

$\frac{P (- e^{\frac{C + t}{10}} - 1)}{- e^{\frac{C + t}{10}} - 1} = \frac{- 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}}{- e^{\frac{C + t}{10}} - 1}$

Schritt 3.4.4.5.3.5.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.4.5.3.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- e^{\frac{C + t}{10}} - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.4.5.3.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{P (- e^{\frac{C + t}{10}} - 1)}{- e^{\frac{C + t}{10}} - 1} = \frac{- 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}}{- e^{\frac{C + t}{10}} - 1}$

Schritt 3.4.4.5.3.5.2.1.2

Dividiere $P$ durch $1$ .

$P = \frac{- 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}}{- e^{\frac{C + t}{10}} - 1}$

Schritt 3.4.4.5.3.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.4.5.3.5.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$P = \frac{- 500 e^{\frac{C + t}{10}}}{- e^{\frac{C + t}{10}} - 1}$

Schritt 3.4.4.5.3.5.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$P = - \frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{- e^{\frac{C + t}{10}} - 1}$

Schritt 3.4.4.5.3.5.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- e^{\frac{C + t}{10}}$ heraus.

$P = - \frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{- e^{\frac{C + t}{10}} - 1}$

Schritt 3.4.4.5.3.5.3.4

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$P = - \frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{- e^{\frac{C + t}{10}} - 1 (1)}$

Schritt 3.4.4.5.3.5.3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- e^{\frac{C + t}{10}} - 1 (1)$ heraus.

$P = - \frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{- (e^{\frac{C + t}{10}} + 1)}$

Schritt 3.4.4.5.3.5.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.4.4.5.3.5.3.6.1

Schreibe $- (e^{\frac{C + t}{10}} + 1)$ als $- 1 (e^{\frac{C + t}{10}} + 1)$ um.

$P = - \frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{- 1 (e^{\frac{C + t}{10}} + 1)}$

Schritt 3.4.4.5.3.5.3.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$P = - - \frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{e^{\frac{C + t}{10}} + 1}$

Schritt 3.4.4.5.3.5.3.6.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$P = 1 \frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{e^{\frac{C + t}{10}} + 1}$

Schritt 3.4.4.5.3.5.3.6.4

Mutltipliziere $\frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{e^{\frac{C + t}{10}} + 1}$ mit $1$ .

$P = \frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{e^{\frac{C + t}{10}} + 1}$

Schritt 3.4.4.6

Löse $500 - P = - \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}}$ nach $P$ auf.

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Schritt 3.4.4.6.1

Multipliziere beide Seiten mit $e^{\frac{t + C}{10}}$ .

$(500 - P) e^{\frac{t + C}{10}} = - \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}} e^{\frac{t + C}{10}}$

Schritt 3.4.4.6.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.4.6.2.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.4.6.2.1.1

Vereinfache $(500 - P) e^{\frac{t + C}{10}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.4.6.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$500 e^{\frac{t + C}{10}} - P e^{\frac{t + C}{10}} = - \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}} e^{\frac{t + C}{10}}$

Schritt 3.4.4.6.2.1.1.2

Vereinfache durch Vertauschen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.4.6.2.1.1.2.1

Stelle $t$ und $C$ um.

$500 e^{\frac{C + t}{10}} - P e^{\frac{t + C}{10}} = - \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}} e^{\frac{t + C}{10}}$

Schritt 3.4.4.6.2.1.1.2.2

Stelle $t$ und $C$ um.

$500 e^{\frac{C + t}{10}} - P e^{\frac{C + t}{10}} = - \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}} e^{\frac{t + C}{10}}$

Schritt 3.4.4.6.2.1.1.2.3

Stelle $500 e^{\frac{C + t}{10}}$ und $- P e^{\frac{C + t}{10}}$ um.

$- P e^{\frac{C + t}{10}} + 500 e^{\frac{C + t}{10}} = - \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}} e^{\frac{t + C}{10}}$

Schritt 3.4.4.6.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.4.6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{\frac{t + C}{10}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.4.6.2.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}}$ in den Zähler.

$- P e^{\frac{C + t}{10}} + 500 e^{\frac{C + t}{10}} = \frac{- P}{e^{\frac{t + C}{10}}} e^{\frac{t + C}{10}}$

Schritt 3.4.4.6.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- P e^{\frac{C + t}{10}} + 500 e^{\frac{C + t}{10}} = \frac{- P}{e^{\frac{t + C}{10}}} e^{\frac{t + C}{10}}$

Schritt 3.4.4.6.2.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- P e^{\frac{C + t}{10}} + 500 e^{\frac{C + t}{10}} = - P$

Schritt 3.4.4.6.3

Löse nach $P$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.4.6.3.1

Addiere $P$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- P e^{\frac{C + t}{10}} + 500 e^{\frac{C + t}{10}} + P = 0$

Schritt 3.4.4.6.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $P$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.4.6.3.2.1

Subtrahiere $500 e^{\frac{C + t}{10}}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- P e^{\frac{C + t}{10}} + P = - 500 e^{\frac{C + t}{10}}$

Schritt 3.4.4.6.3.2.2

Zerlege den Bruch $\frac{C + t}{10}$ in zwei Brüche.

$- P e^{\frac{C + t}{10}} + P = - 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}$

Schritt 3.4.4.6.3.3

Faktorisiere $P$ aus $- P e^{\frac{C + t}{10}} + P$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.4.6.3.3.1

Faktorisiere $P$ aus $- P e^{\frac{C + t}{10}}$ heraus.

$P (- 1 e^{\frac{C + t}{10}}) + P = - 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}$

Schritt 3.4.4.6.3.3.2

Potenziere $P$ mit $1$ .

$P (- 1 e^{\frac{C + t}{10}}) + P = - 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}$

Schritt 3.4.4.6.3.3.3

Faktorisiere $P$ aus $P^{1}$ heraus.

$P (- 1 e^{\frac{C + t}{10}}) + P \cdot 1 = - 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}$

Schritt 3.4.4.6.3.3.4

Faktorisiere $P$ aus $P (- 1 e^{\frac{C + t}{10}}) + P \cdot 1$ heraus.

$P (- 1 e^{\frac{C + t}{10}} + 1) = - 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}$

Schritt 3.4.4.6.3.4

Schreibe $- 1 e^{\frac{C + t}{10}}$ als $- e^{\frac{C + t}{10}}$ um.

$P (- e^{\frac{C + t}{10}} + 1) = - 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}$

Schritt 3.4.4.6.3.5

Teile jeden Ausdruck in $P (- e^{\frac{C + t}{10}} + 1) = - 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}$ durch $- e^{\frac{C + t}{10}} + 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.4.6.3.5.1

Teile jeden Ausdruck in $P (- e^{\frac{C + t}{10}} + 1) = - 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}$ durch $- e^{\frac{C + t}{10}} + 1$ .

$\frac{P (- e^{\frac{C + t}{10}} + 1)}{- e^{\frac{C + t}{10}} + 1} = \frac{- 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}}{- e^{\frac{C + t}{10}} + 1}$

Schritt 3.4.4.6.3.5.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.4.6.3.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- e^{\frac{C + t}{10}} + 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.4.6.3.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{P (- e^{\frac{C + t}{10}} + 1)}{- e^{\frac{C + t}{10}} + 1} = \frac{- 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}}{- e^{\frac{C + t}{10}} + 1}$

Schritt 3.4.4.6.3.5.2.1.2

Dividiere $P$ durch $1$ .

$P = \frac{- 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}}{- e^{\frac{C + t}{10}} + 1}$

Schritt 3.4.4.6.3.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.4.6.3.5.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$P = \frac{- 500 e^{\frac{C + t}{10}}}{- e^{\frac{C + t}{10}} + 1}$

Schritt 3.4.4.6.3.5.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$P = - \frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{- e^{\frac{C + t}{10}} + 1}$

Schritt 3.4.4.6.3.5.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- e^{\frac{C + t}{10}}$ heraus.

$P = - \frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{- e^{\frac{C + t}{10}} + 1}$

Schritt 3.4.4.6.3.5.3.4

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$P = - \frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{- e^{\frac{C + t}{10}} - 1 (- 1)}$

Schritt 3.4.4.6.3.5.3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- e^{\frac{C + t}{10}} - 1 (- 1)$ heraus.

$P = - \frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{- (e^{\frac{C + t}{10}} - 1)}$

Schritt 3.4.4.6.3.5.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.4.6.3.5.3.6.1

Schreibe $- (e^{\frac{C + t}{10}} - 1)$ als $- 1 (e^{\frac{C + t}{10}} - 1)$ um.

$P = - \frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{- 1 (e^{\frac{C + t}{10}} - 1)}$

Schritt 3.4.4.6.3.5.3.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$P = - - \frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{e^{\frac{C + t}{10}} - 1}$

Schritt 3.4.4.6.3.5.3.6.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$P = 1 \frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{e^{\frac{C + t}{10}} - 1}$

Schritt 3.4.4.6.3.5.3.6.4

Mutltipliziere $\frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{e^{\frac{C + t}{10}} - 1}$ mit $1$ .

$P = \frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{e^{\frac{C + t}{10}} - 1}$

Schritt 3.4.4.7