Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} + 5 y = 7 x^{2}$

Schritt 1

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = 5$ gilt.

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Schritt 1.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int 5 d x}$

Schritt 1.2

Wende die Konstantenregel an.

$e^{5 x + C}$

Schritt 1.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{5 x}$

Schritt 2

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{5 x}$ .

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{5 x}$ .

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} + e^{5 x} (5 y) = e^{5 x} (7 x^{2})$

Schritt 2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} + 5 e^{5 x} y = e^{5 x} (7 x^{2})$

Schritt 2.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} + 5 e^{5 x} y = 7 e^{5 x} x^{2}$

Schritt 2.4

Stelle die Faktoren in $e^{5 x} \frac{d y}{d x} + 5 e^{5 x} y = 7 e^{5 x} x^{2}$ um.

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} + 5 y e^{5 x} = 7 x^{2} e^{5 x}$

Schritt 3

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{5 x} y] = 7 x^{2} e^{5 x}$

Schritt 4

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{5 x} y] d x = \int 7 x^{2} e^{5 x} d x$

Schritt 5

Integriere die linke Seite.

$e^{5 x} y = \int 7 x^{2} e^{5 x} d x$

Schritt 6

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 6.1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $7$ aus dem Integral.

$e^{5 x} y = 7 \int x^{2} e^{5 x} d x$

Schritt 6.2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x^{2}$ und $d v = e^{5 x}$ .

$e^{5 x} y = 7 (x^{2} (\frac{1}{5} e^{5 x}) - \int \frac{1}{5} e^{5 x} (2 x) d x)$

Schritt 6.3

Vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $e^{5 x}$ .

$e^{5 x} y = 7 (x^{2} \frac{e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} (2 x) d x)$

Schritt 6.3.2

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{e^{5 x}}{5}$ .

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} (2 x) d x)$

Schritt 6.3.3

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $e^{5 x}$ .

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \int \frac{e^{5 x}}{5} (2 x) d x)$

Schritt 6.3.4

Kombiniere $2$ und $\frac{e^{5 x}}{5}$ .

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \int \frac{2 e^{5 x}}{5} x d x)$

Schritt 6.3.5

Kombiniere $\frac{2 e^{5 x}}{5}$ und $x$ .

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \int \frac{2 e^{5 x} x}{5} d x)$

Schritt 6.4

Da $\frac{2}{5}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{2}{5}$ aus dem Integral.

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - (\frac{2}{5} \int e^{5 x} x d x))$

Schritt 6.5

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{5 x}$ .

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (x (\frac{1}{5} e^{5 x}) - \int \frac{1}{5} e^{5 x} d x))$

Schritt 6.6

Vereinfache.

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Schritt 6.6.1

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $e^{5 x}$ .

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (x \frac{e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} d x))$

Schritt 6.6.2

Kombiniere $x$ und $\frac{e^{5 x}}{5}$ .

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} d x))$

Schritt 6.6.3

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $e^{5 x}$ .

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \int \frac{e^{5 x}}{5} d x))$

Schritt 6.7

Da $\frac{1}{5}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{5}$ aus dem Integral.

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - (\frac{1}{5} \int e^{5 x} d x)))$

Schritt 6.8

Sei $u = 5 x$ . Dann ist $d u = 5 d x$ , folglich $\frac{1}{5} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.8.1

Es sei $u = 5 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 6.8.1.1

Differenziere $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Schritt 6.8.1.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 6.8.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Schritt 6.8.1.4

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$5$

Schritt 6.8.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5} \int e^{u} \frac{1}{5} d u))$

Schritt 6.9

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{5}$ .

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5} \int \frac{e^{u}}{5} d u))$

Schritt 6.10

Da $\frac{1}{5}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{5}$ aus dem Integral.

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5} (\frac{1}{5} \int e^{u} d u)))$

Schritt 6.11

Vereinfache.

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Schritt 6.11.1

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $\frac{1}{5}$ .

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5 \cdot 5} \int e^{u} d u))$

Schritt 6.11.2

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{25} \int e^{u} d u))$

Schritt 6.12

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{25} (e^{u} + C)))$

Schritt 6.13

Schreibe $7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{25} (e^{u} + C)))$ als $7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{u}}{125}) + C$ um.

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{u}}{125}) + C$

Schritt 6.14

Ersetze alle $u$ durch $5 x$ .

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{5 x}}{125}) + C$

Schritt 6.15

Stelle die Terme um.

$e^{5 x} y = 7 (\frac{1}{5} x^{2} e^{5 x} - \frac{2}{25} x e^{5 x} + \frac{2}{125} e^{5 x}) + C$

Schritt 7

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 7.1

Vereinfache.

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Schritt 7.1.1

Kombiniere $x$ und $\frac{2}{25}$ .

$e^{5 x} y = 7 (\frac{1}{5} \cdot (x^{2} e^{5 x}) - \frac{x \cdot 2}{25} \cdot e^{5 x} + \frac{2}{125} \cdot e^{5 x}) + C$

Schritt 7.1.2

Kombiniere $e^{5 x}$ und $\frac{x \cdot 2}{25}$ .

$e^{5 x} y = 7 (\frac{1}{5} \cdot (x^{2} e^{5 x}) - \frac{e^{5 x} (x \cdot 2)}{25} + \frac{2}{125} \cdot e^{5 x}) + C$

Schritt 7.1.3

Entferne die Klammern.

$e^{5 x} y = 7 (\frac{1}{5} \cdot x^{2} e^{5 x} - \frac{e^{5 x} (x \cdot 2)}{25} + \frac{2}{125} \cdot e^{5 x}) + C$

Schritt 7.2

Teile jeden Ausdruck in $e^{5 x} y = 7 (\frac{1}{5} \cdot (x^{2} e^{5 x}) - \frac{e^{5 x} (x \cdot 2)}{25} + \frac{2}{125} \cdot e^{5 x}) + C$ durch $e^{5 x}$ und vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{5 x} y = 7 (\frac{1}{5} \cdot (x^{2} e^{5 x}) - \frac{e^{5 x} (x \cdot 2)}{25} + \frac{2}{125} \cdot e^{5 x}) + C$ durch $e^{5 x}$ .

$\frac{e^{5 x} y}{e^{5 x}} = \frac{7 (\frac{1}{5} \cdot (x^{2} e^{5 x}) - \frac{e^{5 x} (x \cdot 2)}{25} + \frac{2}{125} \cdot e^{5 x})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{5 x}$ .

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Schritt 7.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{5 x} y}{e^{5 x}} = \frac{7 (\frac{1}{5} \cdot (x^{2} e^{5 x}) - \frac{e^{5 x} (x \cdot 2)}{25} + \frac{2}{125} \cdot e^{5 x})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Schritt 7.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{7 (\frac{1}{5} \cdot (x^{2} e^{5 x}) - \frac{e^{5 x} (x \cdot 2)}{25} + \frac{2}{125} \cdot e^{5 x})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.3.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.3.1.1.1

Faktorisiere $e^{5 x}$ aus $\frac{1}{5} \cdot x^{2} e^{5 x} - \frac{e^{5 x} x \cdot 2}{25} + \frac{2}{125} \cdot e^{5 x}$ heraus.

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Schritt 7.2.3.1.1.1.1

Faktorisiere $e^{5 x}$ aus $\frac{1}{5} \cdot x^{2} e^{5 x}$ heraus.

$y = \frac{7 (e^{5 x} (\frac{1}{5} \cdot x^{2}) - \frac{e^{5 x} x \cdot 2}{25} + \frac{2}{125} \cdot e^{5 x})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Schritt 7.2.3.1.1.1.2

Faktorisiere $e^{5 x}$ aus $- \frac{e^{5 x} x \cdot 2}{25}$ heraus.

$y = \frac{7 (e^{5 x} (\frac{1}{5} \cdot x^{2}) + e^{5 x} (- \frac{x \cdot 2}{25}) + \frac{2}{125} \cdot e^{5 x})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Schritt 7.2.3.1.1.1.3

Faktorisiere $e^{5 x}$ aus $\frac{2}{125} \cdot e^{5 x}$ heraus.

$y = \frac{7 (e^{5 x} (\frac{1}{5} \cdot x^{2}) + e^{5 x} (- \frac{x \cdot 2}{25}) + e^{5 x} \cdot \frac{2}{125})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Schritt 7.2.3.1.1.1.4

Faktorisiere $e^{5 x}$ aus $e^{5 x} (\frac{1}{5} \cdot x^{2}) + e^{5 x} (- \frac{x \cdot 2}{25})$ heraus.

$y = \frac{7 (e^{5 x} (\frac{1}{5} \cdot x^{2} - \frac{x \cdot 2}{25}) + e^{5 x} \cdot \frac{2}{125})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Schritt 7.2.3.1.1.1.5

Faktorisiere $e^{5 x}$ aus $e^{5 x} (\frac{1}{5} \cdot x^{2} - \frac{x \cdot 2}{25}) + e^{5 x} \cdot \frac{2}{125}$ heraus.

$y = \frac{7 (e^{5 x} (\frac{1}{5} \cdot x^{2} - \frac{x \cdot 2}{25} + \frac{2}{125}))}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Schritt 7.2.3.1.1.2

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $x^{2}$ .

$y = \frac{7 (e^{5 x} (\frac{x^{2}}{5} - \frac{x \cdot 2}{25} + \frac{2}{125}))}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Schritt 7.2.3.1.1.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = \frac{7 (e^{5 x} (\frac{x^{2}}{5} - \frac{2 \cdot x}{25} + \frac{2}{125}))}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Schritt 7.2.3.1.1.4

Entferne unnötige Klammern.

$y = \frac{7 e^{5 x} (\frac{x^{2}}{5} - \frac{2 x}{25} + \frac{2}{125})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Schritt 7.2.3.1.1.5

Um $\frac{x^{2}}{5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{7 e^{5 x} (\frac{x^{2}}{5} \cdot \frac{5}{5} - \frac{2 x}{25} + \frac{2}{125})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Schritt 7.2.3.1.1.6

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $25$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 7.2.3.1.1.6.1

Mutltipliziere $\frac{x^{2}}{5}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{7 e^{5 x} (\frac{x^{2} \cdot 5}{5 \cdot 5} - \frac{2 x}{25} + \frac{2}{125})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Schritt 7.2.3.1.1.6.2

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$y = \frac{7 e^{5 x} (\frac{x^{2} \cdot 5}{25} - \frac{2 x}{25} + \frac{2}{125})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Schritt 7.2.3.1.1.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{7 e^{5 x} (\frac{x^{2} \cdot 5 - 2 x}{25} + \frac{2}{125})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Schritt 7.2.3.1.1.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.3.1.1.8.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} \cdot 5 - 2 x$ heraus.

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Schritt 7.2.3.1.1.8.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} \cdot 5$ heraus.

$y = \frac{7 e^{5 x} (\frac{x (x \cdot 5) - 2 x}{25} + \frac{2}{125})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Schritt 7.2.3.1.1.8.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 2 x$ heraus.

$y = \frac{7 e^{5 x} (\frac{x (x \cdot 5) + x \cdot - 2}{25} + \frac{2}{125})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Schritt 7.2.3.1.1.8.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x (x \cdot 5) + x \cdot - 2$ heraus.

$y = \frac{7 e^{5 x} (\frac{x (x \cdot 5 - 2)}{25} + \frac{2}{125})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Schritt 7.2.3.1.1.8.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = \frac{7 e^{5 x} (\frac{x (5 x - 2)}{25} + \frac{2}{125})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Schritt 7.2.3.1.1.9

Um $\frac{x (5 x - 2)}{25}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{7 e^{5 x} (\frac{x (5 x - 2)}{25} \cdot \frac{5}{5} + \frac{2}{125})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Schritt 7.2.3.1.1.10

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $125$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 7.2.3.1.1.10.1

Mutltipliziere $\frac{x (5 x - 2)}{25}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{7 e^{5 x} (\frac{x (5 x - 2) \cdot 5}{25 \cdot 5} + \frac{2}{125})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Schritt 7.2.3.1.1.10.2

Mutltipliziere $25$ mit $5$ .

$y = \frac{7 e^{5 x} (\frac{x (5 x - 2) \cdot 5}{125} + \frac{2}{125})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Schritt 7.2.3.1.1.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{7 e^{5 x} \frac{x (5 x - 2) \cdot 5 + 2}{125}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Schritt 7.2.3.1.1.12

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.3.1.1.12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{7 e^{5 x} \frac{(x (5 x) + x \cdot - 2) \cdot 5 + 2}{125}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Schritt 7.2.3.1.1.12.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = \frac{7 e^{5 x} \frac{(5 x \cdot x + x \cdot - 2) \cdot 5 + 2}{125}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Schritt 7.2.3.1.1.12.3

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = \frac{7 e^{5 x} \frac{(5 x \cdot x - 2 \cdot x) \cdot 5 + 2}{125}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Schritt 7.2.3.1.1.12.4

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.2.3.1.1.12.4.1

Bewege $x$ .

$y = \frac{7 e^{5 x} \frac{(5 (x \cdot x) - 2 \cdot x) \cdot 5 + 2}{125}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Schritt 7.2.3.1.1.12.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y = \frac{7 e^{5 x} \frac{(5 x^{2} - 2 \cdot x) \cdot 5 + 2}{125}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

$y = \frac{7 e^{5 x} \frac{(5 x^{2} - 2 x) \cdot 5 + 2}{125}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Schritt 7.2.3.1.1.12.5

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{7 e^{5 x} \frac{5 x^{2} \cdot 5 - 2 x \cdot 5 + 2}{125}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Schritt 7.2.3.1.1.12.6

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$y = \frac{7 e^{5 x} \frac{25 x^{2} - 2 x \cdot 5 + 2}{125}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Schritt 7.2.3.1.1.12.7

Mutltipliziere $5$ mit $- 2$ .

$y = \frac{7 e^{5 x} \frac{25 x^{2} - 10 x + 2}{125}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Schritt 7.2.3.1.1.13

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 7.2.3.1.1.13.1

Kombiniere $\frac{25 x^{2} - 10 x + 2}{125}$ und $7$ .

$y = \frac{\frac{(25 x^{2} - 10 x + 2) \cdot 7}{125} e^{5 x}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Schritt 7.2.3.1.1.13.2

Kombiniere $\frac{(25 x^{2} - 10 x + 2) \cdot 7}{125}$ und $e^{5 x}$ .

$y = \frac{\frac{(25 x^{2} - 10 x + 2) \cdot 7 e^{5 x}}{125}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Schritt 7.2.3.1.1.14

Bringe $7$ auf die linke Seite von $25 x^{2} - 10 x + 2$ .

$y = \frac{\frac{7 (25 x^{2} - 10 x + 2) e^{5 x}}{125}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Schritt 7.2.3.1.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y = \frac{7 (25 x^{2} - 10 x + 2) e^{5 x}}{125} \cdot \frac{1}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Schritt 7.2.3.1.3

Kombinieren.

$y = \frac{7 (25 x^{2} - 10 x + 2) e^{5 x} \cdot 1}{125 e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Schritt 7.2.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{5 x}$ .

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Schritt 7.2.3.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{7 (25 x^{2} - 10 x + 2) e^{5 x} \cdot 1}{125 e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Schritt 7.2.3.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{7 (25 x^{2} - 10 x + 2) \cdot 1}{125} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Schritt 7.2.3.1.5

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$y = \frac{7 (25 x^{2} - 10 x + 2)}{125} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Schritt 7.2.3.2

Um $\frac{7 (25 x^{2} - 10 x + 2)}{125}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{e^{5 x}}{e^{5 x}}$ .

$y = \frac{7 (25 x^{2} - 10 x + 2)}{125} \cdot \frac{e^{5 x}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Schritt 7.2.3.3

Um $\frac{C}{e^{5 x}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{125}{125}$ .

$y = \frac{7 (25 x^{2} - 10 x + 2)}{125} \cdot \frac{e^{5 x}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}} \cdot \frac{125}{125}$

Schritt 7.2.3.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $125 e^{5 x}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 7.2.3.4.1

Mutltipliziere $\frac{7 (25 x^{2} - 10 x + 2)}{125}$ mit $\frac{e^{5 x}}{e^{5 x}}$ .

$y = \frac{7 (25 x^{2} - 10 x + 2) e^{5 x}}{125 e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}} \cdot \frac{125}{125}$

Schritt 7.2.3.4.2

Mutltipliziere $\frac{C}{e^{5 x}}$ mit $\frac{125}{125}$ .

$y = \frac{7 (25 x^{2} - 10 x + 2) e^{5 x}}{125 e^{5 x}} + \frac{C \cdot 125}{e^{5 x} \cdot 125}$

Schritt 7.2.3.4.3

Stelle die Faktoren von $e^{5 x} \cdot 125$ um.

$y = \frac{7 (25 x^{2} - 10 x + 2) e^{5 x}}{125 e^{5 x}} + \frac{C \cdot 125}{125 e^{5 x}}$

Schritt 7.2.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{7 (25 x^{2} - 10 x + 2) e^{5 x} + C \cdot 125}{125 e^{5 x}}$

Schritt 7.2.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.3.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{(7 (25 x^{2}) + 7 (- 10 x) + 7 \cdot 2) e^{5 x} + C \cdot 125}{125 e^{5 x}}$

Schritt 7.2.3.6.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.3.6.2.1

Mutltipliziere $25$ mit $7$ .

$y = \frac{(175 x^{2} + 7 (- 10 x) + 7 \cdot 2) e^{5 x} + C \cdot 125}{125 e^{5 x}}$

Schritt 7.2.3.6.2.2

Mutltipliziere $- 10$ mit $7$ .

$y = \frac{(175 x^{2} - 70 x + 7 \cdot 2) e^{5 x} + C \cdot 125}{125 e^{5 x}}$

Schritt 7.2.3.6.2.3

Mutltipliziere $7$ mit $2$ .

$y = \frac{(175 x^{2} - 70 x + 14) e^{5 x} + C \cdot 125}{125 e^{5 x}}$

Schritt 7.2.3.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{175 x^{2} e^{5 x} - 70 x e^{5 x} + 14 e^{5 x} + C \cdot 125}{125 e^{5 x}}$

Schritt 7.2.3.6.4

Bringe $125$ auf die linke Seite von $C$ .

$y = \frac{175 x^{2} e^{5 x} - 70 x e^{5 x} + 14 e^{5 x} + 125 C}{125 e^{5 x}}$