Analysis Beispiele

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + y^{2} + 1 = 0$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Löse nach $\frac{d y}{d x}$ auf.

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Schritt 1.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 1 \frac{d y}{d x} + y^{2} + 1 = 0$

Schritt 1.1.1.2

Mutltipliziere $\frac{d y}{d x}$ mit $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + y^{2} + 1 = 0$

Schritt 1.1.2

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d y}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.2.1

Subtrahiere $y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 1 = - y^{2}$

Schritt 1.1.2.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} = - y^{2} - 1$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $\frac{d y}{d x}$ aus $x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x}$ heraus.

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Schritt 1.1.3.1

Faktorisiere $\frac{d y}{d x}$ aus $x^{2} \frac{d y}{d x}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} = - y^{2} - 1$

Schritt 1.1.3.2

Potenziere $\frac{d y}{d x}$ mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} = - y^{2} - 1$

Schritt 1.1.3.3

Faktorisiere $\frac{d y}{d x}$ aus ${(\frac{d y}{d x})}^{1}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 1 = - y^{2} - 1$

Schritt 1.1.3.4

Faktorisiere $\frac{d y}{d x}$ aus $\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 1$ heraus.

$\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = - y^{2} - 1$

Schritt 1.1.4

Teile jeden Ausdruck in $\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = - y^{2} - 1$ durch $x^{2} + 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.4.1

Teile jeden Ausdruck in $\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = - y^{2} - 1$ durch $x^{2} + 1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{- y^{2}}{x^{2} + 1} + \frac{- 1}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.1.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} + 1$ .

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Schritt 1.1.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{- y^{2}}{x^{2} + 1} + \frac{- 1}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.1.4.2.1.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y^{2}}{x^{2} + 1} + \frac{- 1}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.1.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.4.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y^{2} - 1}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.1.4.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- y^{2}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- (y^{2}) - 1}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.1.4.3.3

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- (y^{2}) - 1 (1)}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.1.4.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (y^{2}) - 1 (1)$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- (y^{2} + 1)}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.1.4.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.4.3.5.1

Schreibe $- (y^{2} + 1)$ als $- 1 (y^{2} + 1)$ um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 1 (y^{2} + 1)}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.1.4.3.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2} + 1}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} (- \frac{y^{2} + 1}{x^{2} + 1})$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2} + 1$ .

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Schritt 1.3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{y^{2} + 1}$ in den Zähler.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.1.1

Stelle $y^{2}$ und $1$ um.

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 2.2.2

Das Integral von $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ nach $y$ ist $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\arctan (y) + C_{1} = - \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 2.3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.2.1

Stelle $x^{2}$ und $1$ um.

$\arctan (y) + C_{1} = - \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 2.3.2.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\arctan (y) + C_{1} = - \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Schritt 2.3.3

Das Integral von $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ nach $x$ ist $\arctan (x) + C_{2}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = - (\arctan (x) + C_{2})$

Schritt 2.3.4

Vereinfache.

$\arctan (y) + C_{1} = - \arctan (x) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\arctan (y) = - \arctan (x) + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $- \arctan (x) + K = \arctan (y)$ um.

$- \arctan (x) + K = \arctan (y)$

Schritt 3.2

Subtrahiere $K$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \arctan (x) = \arctan (y) - K$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $- \arctan (x) = \arctan (y) - K$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- \arctan (x) = \arctan (y) - K$ durch $- 1$ .

$\frac{- \arctan (x)}{- 1} = \frac{\arctan (y)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\arctan (x)}{1} = \frac{\arctan (y)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Schritt 3.3.2.2

Dividiere $\arctan (x)$ durch $1$ .

$\arctan (x) = \frac{\arctan (y)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\arctan (y)}{- 1}$ .

$\arctan (x) = - 1 \cdot \arctan (y) + \frac{- K}{- 1}$

Schritt 3.3.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot \arctan (y)$ als $- \arctan (y)$ um.

$\arctan (x) = - \arctan (y) + \frac{- K}{- 1}$

Schritt 3.3.3.1.3

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\arctan (x) = - \arctan (y) + \frac{K}{1}$

Schritt 3.3.3.1.4

Dividiere $K$ durch $1$ .

$\arctan (x) = - \arctan (y) + K$

Schritt 3.4

Ziehe den inversen Arkustangens auf beiden Seiten der Gleichung, um $y$ aus dem Inneren des Arkustangens zu extrahieren.

$x = \tan (- \arctan (y) + K)$

Schritt 3.5

Schreibe die Gleichung als $\tan (- \arctan (y) + K) = x$ um.

$\tan (- \arctan (y) + K) = x$

Schritt 3.6

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $\arctan (y)$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$- \arctan (y) + K = \arctan (x)$

Schritt 3.7

Subtrahiere $K$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \arctan (y) = \arctan (x) - K$

Schritt 3.8

Teile jeden Ausdruck in $- \arctan (y) = \arctan (x) - K$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.8.1

Teile jeden Ausdruck in $- \arctan (y) = \arctan (x) - K$ durch $- 1$ .

$\frac{- \arctan (y)}{- 1} = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Schritt 3.8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.8.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\arctan (y)}{1} = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Schritt 3.8.2.2

Dividiere $\arctan (y)$ durch $1$ .

$\arctan (y) = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Schritt 3.8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.8.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.8.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\arctan (x)}{- 1}$ .

$\arctan (y) = - 1 \cdot \arctan (x) + \frac{- K}{- 1}$

Schritt 3.8.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot \arctan (x)$ als $- \arctan (x)$ um.

$\arctan (y) = - \arctan (x) + \frac{- K}{- 1}$

Schritt 3.8.3.1.3

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\arctan (y) = - \arctan (x) + \frac{K}{1}$

Schritt 3.8.3.1.4

Dividiere $K$ durch $1$ .

$\arctan (y) = - \arctan (x) + K$

Schritt 3.9

Ziehe den inversen Arkustangens auf beiden Seiten der Gleichung, um $y$ aus dem Inneren des Arkustangens zu extrahieren.

$y = \tan (- \arctan (x) + K)$

Schritt 3.10

Da $y$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$\tan (- \arctan (y) + K) = x$

Schritt 3.11

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $\arctan (y)$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$- \arctan (y) + K = \arctan (x)$

Schritt 3.12

Subtrahiere $K$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \arctan (y) = \arctan (x) - K$

Schritt 3.13

Teile jeden Ausdruck in $- \arctan (y) = \arctan (x) - K$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.13.1

Teile jeden Ausdruck in $- \arctan (y) = \arctan (x) - K$ durch $- 1$ .

$\frac{- \arctan (y)}{- 1} = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Schritt 3.13.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.13.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\arctan (y)}{1} = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Schritt 3.13.2.2

Dividiere $\arctan (y)$ durch $1$ .

$\arctan (y) = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Schritt 3.13.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.13.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.13.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\arctan (x)}{- 1}$ .

$\arctan (y) = - 1 \cdot \arctan (x) + \frac{- K}{- 1}$

Schritt 3.13.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot \arctan (x)$ als $- \arctan (x)$ um.

$\arctan (y) = - \arctan (x) + \frac{- K}{- 1}$

Schritt 3.13.3.1.3

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\arctan (y) = - \arctan (x) + \frac{K}{1}$

Schritt 3.13.3.1.4

Dividiere $K$ durch $1$ .

$\arctan (y) = - \arctan (x) + K$

Schritt 3.14

Ziehe den inversen Arkustangens auf beiden Seiten der Gleichung, um $y$ aus dem Inneren des Arkustangens zu extrahieren.

$y = \tan (- \arctan (x) + K)$