Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = x^{5}$ , $y (0) = 1$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = x^{5} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int x^{5} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int x^{5} d x$

Schritt 2.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{5}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{6} x^{6} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = \frac{1}{6} x^{6} + K$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $0$ für $x$ und $1$ für $y$ in $y = \frac{1}{6} x^{6} + K$ ersetzt wird.

$1 = \frac{1}{6} \cdot 0^{6} + K$

Schritt 4

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + K = 1$ um.

$\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + K = 1$

Schritt 4.2

Vereinfache $\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + K$ .

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot 0 + K = 1$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $\frac{1}{6}$ mit $0$ .

$0 + K = 1$

Schritt 4.2.2

Addiere $0$ und $K$ .

$K = 1$

Schritt 5

Setze $1$ für $K$ in $y = \frac{1}{6} x^{6} + K$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.1

Ersetze $K$ durch $1$ .

$y = \frac{1}{6} x^{6} + 1$

Schritt 5.2

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $x^{6}$ .

$y = \frac{x^{6}}{6} + 1$