Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} + 6 y \cos (3 x) = \cos (3 x)$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $6 y \cos (3 x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d x} = \cos (3 x) - 6 y \cos (3 x)$

Schritt 1.2

Faktorisiere $\cos (3 x)$ aus $\cos (3 x) - 6 y \cos (3 x)$ heraus.

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Schritt 1.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \cos (3 x) \cdot 1 - 6 y \cos (3 x)$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $\cos (3 x)$ aus $- 6 y \cos (3 x)$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \cos (3 x) \cdot 1 + \cos (3 x) (- 6 y)$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $\cos (3 x)$ aus $\cos (3 x) \cdot 1 + \cos (3 x) (- 6 y)$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \cos (3 x) (1 - 6 y)$

Schritt 1.3

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{1 - 6 y}$ .

$\frac{1}{1 - 6 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - 6 y} (\cos (3 x) (1 - 6 y))$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - 6 y$ .

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Schritt 1.4.1

Faktorisiere $1 - 6 y$ aus $\cos (3 x) (1 - 6 y)$ heraus.

$\frac{1}{1 - 6 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - 6 y} ((1 - 6 y) \cos (3 x))$

Schritt 1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{1 - 6 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - 6 y} ((1 - 6 y) \cos (3 x))$

Schritt 1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{1 - 6 y} \frac{d y}{d x} = \cos (3 x)$

Schritt 1.5

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{1 - 6 y} d y = \cos (3 x) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{1 - 6 y} d y = \int \cos (3 x) d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Sei $u_{1} = 1 - 6 y$ . Dann ist $d u_{1} = - 6 d y$ , folglich $- \frac{1}{6} d u_{1} = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Es sei $u_{1} = 1 - 6 y$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Differenziere $1 - 6 y$ .

$\frac{d}{d y} [1 - 6 y]$

Schritt 2.2.1.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - 6 y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- 6 y]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- 6 y]$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- 6 y]$

Schritt 2.2.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [- 6 y]$ .

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Schritt 2.2.1.1.3.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 6 y$ nach $y$ gleich $- 6 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 - 6 \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.2.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - 6 \cdot 1$

Schritt 2.2.1.1.3.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$0 - 6$

Schritt 2.2.1.1.4

Subtrahiere $6$ von $0$ .

$- 6$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{- 6} d u_{1} = \int \cos (3 x) d x$

Schritt 2.2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.2.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int \frac{1}{u_{1}} (- \frac{1}{6}) d u_{1} = \int \cos (3 x) d x$

Schritt 2.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{u_{1}}$ mit $\frac{1}{6}$ .

$\int - \frac{1}{u_{1} \cdot 6} d u_{1} = \int \cos (3 x) d x$

Schritt 2.2.2.3

Bringe $6$ auf die linke Seite von $u_{1}$ .

$\int - \frac{1}{6 u_{1}} d u_{1} = \int \cos (3 x) d x$

Schritt 2.2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{1}{6 u_{1}} d u_{1} = \int \cos (3 x) d x$

Schritt 2.2.4

Da $\frac{1}{6}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{6}$ aus dem Integral.

$- (\frac{1}{6} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1}) = \int \cos (3 x) d x$

Schritt 2.2.5

Das Integral von $\frac{1}{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $\ln (| u_{1} |)$ .

$- \frac{1}{6} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \cos (3 x) d x$

Schritt 2.2.6

Vereinfache.

$- \frac{1}{6} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \cos (3 x) d x$

Schritt 2.2.7

Ersetze alle $u_{1}$ durch $1 - 6 y$ .

$- \frac{1}{6} \ln (| 1 - 6 y |) + C_{1} = \int \cos (3 x) d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Sei $u_{2} = 3 x$ . Dann ist $d u_{2} = 3 d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u_{2} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Es sei $u_{2} = 3 x$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Differenziere $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 2.3.1.1.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Schritt 2.3.1.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$- \frac{1}{6} \ln (| 1 - 6 y |) + C_{1} = \int \cos (u_{2}) \frac{1}{3} d u_{2}$

Schritt 2.3.2

Kombiniere $\cos (u_{2})$ und $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{6} \ln (| 1 - 6 y |) + C_{1} = \int \frac{\cos (u_{2})}{3} d u_{2}$

Schritt 2.3.3

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{6} \ln (| 1 - 6 y |) + C_{1} = \frac{1}{3} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Schritt 2.3.4

Das Integral von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\sin (u_{2})$ .

$- \frac{1}{6} \ln (| 1 - 6 y |) + C_{1} = \frac{1}{3} (\sin (u_{2}) + C_{2})$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

$- \frac{1}{6} \ln (| 1 - 6 y |) + C_{1} = \frac{1}{3} \sin (u_{2}) + C_{2}$

Schritt 2.3.6

Ersetze alle $u_{2}$ durch $3 x$ .

$- \frac{1}{6} \ln (| 1 - 6 y |) + C_{1} = \frac{1}{3} \sin (3 x) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$- \frac{1}{6} \ln (| 1 - 6 y |) = \frac{1}{3} \sin (3 x) + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- 6$ .

$- 6 (- \frac{1}{6} \ln (| 1 - 6 y |)) = - 6 (\frac{1}{3} \sin (3 x) + C)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $- 6 (- \frac{1}{6} \ln (| 1 - 6 y |))$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\ln (| 1 - 6 y |)$ und $\frac{1}{6}$ .

$- 6 (- \frac{\ln (| 1 - 6 y |)}{6}) = - 6 (\frac{1}{3} \sin (3 x) + C)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\ln (| 1 - 6 y |)}{6}$ in den Zähler.

$- 6 \frac{- \ln (| 1 - 6 y |)}{6} = - 6 (\frac{1}{3} \sin (3 x) + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Faktorisiere $6$ aus $- 6$ heraus.

$6 (- 1) \frac{- \ln (| 1 - 6 y |)}{6} = - 6 (\frac{1}{3} \sin (3 x) + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 \cdot - 1 \frac{- \ln (| 1 - 6 y |)}{6} = - 6 (\frac{1}{3} \sin (3 x) + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$- - \ln (| 1 - 6 y |) = - 6 (\frac{1}{3} \sin (3 x) + C)$

Schritt 3.2.1.1.3

Multipliziere.

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Schritt 3.2.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \ln (| 1 - 6 y |) = - 6 (\frac{1}{3} \sin (3 x) + C)$

Schritt 3.2.1.1.3.2

Mutltipliziere $\ln (| 1 - 6 y |)$ mit $1$ .

$\ln (| 1 - 6 y |) = - 6 (\frac{1}{3} \sin (3 x) + C)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $- 6 (\frac{1}{3} \sin (3 x) + C)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $\sin (3 x)$ .

$\ln (| 1 - 6 y |) = - 6 (\frac{\sin (3 x)}{3} + C)$

Schritt 3.2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| 1 - 6 y |) = - 6 \frac{\sin (3 x)}{3} - 6 C$

Schritt 3.2.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.2.1.3.1

Faktorisiere $3$ aus $- 6$ heraus.

$\ln (| 1 - 6 y |) = 3 (- 2) \frac{\sin (3 x)}{3} - 6 C$

Schritt 3.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (| 1 - 6 y |) = 3 \cdot - 2 \frac{\sin (3 x)}{3} - 6 C$

Schritt 3.2.2.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| 1 - 6 y |) = - 2 \sin (3 x) - 6 C$

Schritt 3.3

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| 1 - 6 y |)} = e^{- 2 \sin (3 x) - 6 C}$

Schritt 3.4

Schreibe $\ln (| 1 - 6 y |) = - 2 \sin (3 x) - 6 C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- 2 \sin (3 x) - 6 C} = | 1 - 6 y |$

Schritt 3.5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.5.1

Schreibe die Gleichung als $| 1 - 6 y | = e^{- 2 \sin (3 x) - 6 C}$ um.

$| 1 - 6 y | = e^{- 2 \sin (3 x) - 6 C}$

Schritt 3.5.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$1 - 6 y = \pm e^{- 2 \sin (3 x) - 6 C}$

Schritt 3.5.3

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 6 y = \pm e^{- 2 \sin (3 x) - 6 C} - 1$

Schritt 3.5.4

Teile jeden Ausdruck in $- 6 y = \pm e^{- 2 \sin (3 x) - 6 C} - 1$ durch $- 6$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $- 6 y = \pm e^{- 2 \sin (3 x) - 6 C} - 1$ durch $- 6$ .

$\frac{- 6 y}{- 6} = \frac{\pm e^{- 2 \sin (3 x) - 6 C}}{- 6} + \frac{- 1}{- 6}$

Schritt 3.5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 6$ .

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Schritt 3.5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 6 y}{- 6} = \frac{\pm e^{- 2 \sin (3 x) - 6 C}}{- 6} + \frac{- 1}{- 6}$

Schritt 3.5.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- 2 \sin (3 x) - 6 C}}{- 6} + \frac{- 1}{- 6}$

Schritt 3.5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.4.3.1.1

Vereinfache $\frac{\pm e^{- 2 \sin (3 x) - 6 C}}{- 6}$ .

$y = \frac{\pm e^{- 2 \sin (3 x) - 6 C}}{6} + \frac{- 1}{- 6}$

Schritt 3.5.4.3.1.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y = \frac{\pm e^{- 2 \sin (3 x) - 6 C}}{6} + \frac{1}{6}$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{\pm e^{- 2 \sin (3 x) + C}}{6} + \frac{1}{6}$

Schritt 4.2

Schreibe $e^{- 2 \sin (3 x) + C}$ als $e^{- 2 \sin (3 x)} e^{C}$ um.

$y = \frac{\pm e^{- 2 \sin (3 x)} e^{C}}{6} + \frac{1}{6}$

Schritt 4.3

Stelle $e^{- 2 \sin (3 x)}$ und $e^{C}$ um.

$y = \frac{\pm e^{C} e^{- 2 \sin (3 x)}}{6} + \frac{1}{6}$

Schritt 4.4

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = \frac{C e^{- 2 \sin (3 x)}}{6} + \frac{1}{6}$