Analysis Beispiele

$(a^{2} - 2 x y - y^{2}) d x - {(x + y)}^{2} d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = a^{2} - 2 x y - y^{2}$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [a^{2} - 2 x y - y^{2}]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $a^{2} - 2 x y - y^{2}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [a^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [a^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Schritt 1.2.2

Da $a^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $a^{2}$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [- 2 x y]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 2 x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x y$ nach $y$ gleich $- 2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Schritt 1.4

Berechne $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

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Schritt 1.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- y^{2}$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x - \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x - (2 y)$

Schritt 1.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x - 2 y$

Schritt 1.5

Subtrahiere $2 x$ von $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x - 2 y$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = - {(x + y)}^{2}$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- {(x + y)}^{2}]$

Schritt 2.2

Schreibe ${(x + y)}^{2}$ als $(x + y) (x + y)$ um.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- ((x + y) (x + y))]$

Schritt 2.3

Multipliziere $(x + y) (x + y)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x (x + y) + y (x + y))]$

Schritt 2.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x \cdot x + x y + y (x + y))]$

Schritt 2.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x \cdot x + x y + y x + y \cdot y)]$

Schritt 2.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x^{2} + x y + y x + y \cdot y)]$

Schritt 2.4.1.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x^{2} + x y + y x + y^{2})]$

Schritt 2.4.2

Addiere $x y$ und $y x$ .

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Schritt 2.4.2.1

Stelle $y$ und $x$ um.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x^{2} + x y + x y + y^{2})]$

Schritt 2.4.2.2

Addiere $x y$ und $x y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x^{2} + 2 x y + y^{2})]$

Schritt 2.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- (x^{2} + 2 x y + y^{2})$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x y + y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x y + y^{2}]$

Schritt 2.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 2 x y + y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Schritt 2.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Schritt 2.8

Da $2 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x y$ nach $x$ gleich $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Schritt 2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + 2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Schritt 2.10

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + 2 y + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Schritt 2.11

Da $y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $y^{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + 2 y + 0)$

Schritt 2.12

Addiere $2 x + 2 y$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + 2 y)$

Schritt 2.13

Vereinfache.

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Schritt 2.13.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x) - (2 y)$

Schritt 2.13.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.13.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x - (2 y)$

Schritt 2.13.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x - 2 y$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $- 2 x - 2 y$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $- 2 x - 2 y$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$- 2 x - 2 y = - 2 x - 2 y$

Schritt 3.2

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$- 2 x - 2 y = - 2 x - 2 y$ ist eine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - {(x + y)}^{2} d y$

Schritt 5

Integriere $N (x, y) = - {(x + y)}^{2}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 5.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$f (x, y) = - \int {(x + y)}^{2} d y$

Schritt 5.2

Sei $u = x + y$ . Dann ist $d u = d y$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.2.1

Es sei $u = x + y$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Differenziere $x + y$ .

$\frac{d}{d y} [x + y]$

Schritt 5.2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 5.2.1.3

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 5.2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 1$

Schritt 5.2.1.5

Addiere $0$ und $1$ .

$1$

Schritt 5.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$f (x, y) = - \int u^{2} d u$

Schritt 5.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$f (x, y) = - (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Schritt 5.4

Schreibe $- (\frac{1}{3} u^{3} + C)$ als $- \frac{1}{3} u^{3} + C$ um.

$f (x, y) = - \frac{1}{3} u^{3} + C$

Schritt 5.5

Ersetze alle $u$ durch $x + y$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + C$

Schritt 6

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = - \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + g (x)$

Schritt 7

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Schritt 8

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 8.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Schritt 8.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} {(x + y)}^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} {(x + y)}^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Schritt 8.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} {(x + y)}^{3}]$ .

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Schritt 8.3.1

Da $- \frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{1}{3} {(x + y)}^{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x + y)}^{3}]$ .

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x + y)}^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Schritt 8.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = x + y$ .

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Schritt 8.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + y$ .

$- \frac{1}{3} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Schritt 8.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- \frac{1}{3} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Schritt 8.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x + y$ .

$- \frac{1}{3} (3 {(x + y)}^{2} \frac{d}{d x} [x + y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Schritt 8.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$- \frac{1}{3} (3 {(x + y)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Schritt 8.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{1}{3} (3 {(x + y)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [y])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Schritt 8.3.5

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- \frac{1}{3} (3 {(x + y)}^{2} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Schritt 8.3.6

Addiere $1$ und $0$ .

$- \frac{1}{3} (3 {(x + y)}^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Schritt 8.3.7

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$- \frac{1}{3} (3 {(x + y)}^{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Schritt 8.3.8

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 3 (\frac{1}{3}) {(x + y)}^{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Schritt 8.3.9

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 3}{3} {(x + y)}^{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Schritt 8.3.10

Kombiniere $\frac{- 3}{3}$ und ${(x + y)}^{2}$ .

$\frac{- 3 {(x + y)}^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Schritt 8.3.11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 3$ und $3$ .

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Schritt 8.3.11.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 {(x + y)}^{2}$ heraus.

$\frac{3 (- {(x + y)}^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Schritt 8.3.11.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.11.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 (- {(x + y)}^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Schritt 8.3.11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (- {(x + y)}^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Schritt 8.3.11.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- {(x + y)}^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Schritt 8.3.11.2.4

Dividiere $- {(x + y)}^{2}$ durch $1$ .

$- {(x + y)}^{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Schritt 8.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$- {(x + y)}^{2} + \frac{d g}{d x} = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Schritt 8.5

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} - {(x + y)}^{2} = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

Schritt 9

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 9.1

Addiere ${(x + y)}^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} = a^{2} - 2 x y - y^{2} + {(x + y)}^{2}$

Schritt 10

Bestimme die Stammfunktion von $a^{2} - 2 x y - y^{2} + {(x + y)}^{2}$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 10.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = a^{2} - 2 x y - y^{2} + {(x + y)}^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int a^{2} - 2 x y - y^{2} + {(x + y)}^{2} d x$

Schritt 10.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int a^{2} - 2 x y - y^{2} + {(x + y)}^{2} d x$

Schritt 10.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$g (x) = \int a^{2} d x + \int - 2 x y d x + \int - y^{2} d x + \int {(x + y)}^{2} d x$

Schritt 10.4

Wende die Konstantenregel an.

$g (x) = a^{2} x + C + \int - 2 x y d x + \int - y^{2} d x + \int {(x + y)}^{2} d x$

Schritt 10.5

Da $- 2 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2 y$ aus dem Integral.

$g (x) = a^{2} x + C - 2 y \int x d x + \int - y^{2} d x + \int {(x + y)}^{2} d x$

Schritt 10.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = a^{2} x + C - 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - y^{2} d x + \int {(x + y)}^{2} d x$

Schritt 10.7

Wende die Konstantenregel an.

$g (x) = a^{2} x + C - 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) - y^{2} x + C + \int {(x + y)}^{2} d x$

Schritt 10.8

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$g (x) = a^{2} x + C - 2 y (\frac{x^{2}}{2} + C) - y^{2} x + C + \int {(x + y)}^{2} d x$

Schritt 10.9

Sei $u = x + y$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 10.9.1

Es sei $u = x + y$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 10.9.1.1

Differenziere $x + y$ .

$\frac{d}{d x} [x + y]$

Schritt 10.9.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 10.9.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 10.9.1.4

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 10.9.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 10.9.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$g (x) = a^{2} x + C - 2 y (\frac{x^{2}}{2} + C) - y^{2} x + C + \int u^{2} d u$

Schritt 10.10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$g (x) = a^{2} x + C - 2 y (\frac{x^{2}}{2} + C) - y^{2} x + C + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Schritt 10.11

Vereinfache.

$g (x) = a^{2} x - y x^{2} - y^{2} x + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Schritt 10.12

Ersetze alle $u$ durch $x + y$ .

$g (x) = a^{2} x - y x^{2} - y^{2} x + \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + C$

Schritt 11

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = - \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + g (x)$ ein.

$f (x, y) = - \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + a^{2} x - y x^{2} - y^{2} x + \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + C$

Schritt 12

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + a^{2} x - y x^{2} - y^{2} x + \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + C$ .

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Schritt 12.1

Addiere $- \frac{1}{3} {(x + y)}^{3}$ und $\frac{1}{3} {(x + y)}^{3}$ .

$f (x, y) = a^{2} x - y x^{2} - y^{2} x + 0 + C$

Schritt 12.2

Addiere $a^{2} x - y x^{2} - y^{2} x$ und $0$ .

$f (x, y) = a^{2} x - y x^{2} - y^{2} x + C$