Analysis Beispiele

$\frac{d x}{d t} = x^{2} + \frac{1}{9}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{9}}$ .

$\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{9}} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x^{2} + \frac{1}{9}} (x^{2} + \frac{1}{9})$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} + \frac{1}{9}$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{9}} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x^{2} + \frac{1}{9}} (x^{2} + \frac{1}{9})$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{9}} \frac{d x}{d t} = 1$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{9}} d x = 1 d t$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{x^{2} + \frac{1}{9}} d x = \int d t$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Stelle $x^{2}$ und $\frac{1}{9}$ um.

$\int \frac{1}{\frac{1}{9} + x^{2}} d x = \int d t$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{1}{9}$ als ${(\frac{1}{3})}^{2}$ um.

$\int \frac{1}{{(\frac{1}{3})}^{2} + x^{2}} d x = \int d t$

Schritt 2.2.3

Das Integral von $\frac{1}{{(\frac{1}{3})}^{2} + x^{2}}$ nach $x$ ist $\frac{1}{\frac{1}{3}} \arctan (\frac{x}{\frac{1}{3}}) + C_{1}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{3}} \arctan (\frac{x}{\frac{1}{3}}) + C_{1} = \int d t$

Schritt 2.2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.2.4.1

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{3}$ zu dividieren.

$1 \cdot 3 \arctan (\frac{x}{\frac{1}{3}}) + C_{1} = \int d t$

Schritt 2.2.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 \arctan (\frac{x}{\frac{1}{3}}) + C_{1} = \int d t$

Schritt 2.2.4.3

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{3}$ zu dividieren.

$3 \arctan (x \cdot 3) + C_{1} = \int d t$

Schritt 2.2.4.4

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$3 \arctan (3 x) + C_{1} = \int d t$

Schritt 2.3

Wende die Konstantenregel an.

$3 \arctan (3 x) + C_{1} = t + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$3 \arctan (3 x) = t + K$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 \arctan (3 x) = t + K$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $3 \arctan (3 x) = t + K$ durch $3$ .

$\frac{3 \arctan (3 x)}{3} = \frac{t}{3} + \frac{K}{3}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \arctan (3 x)}{3} = \frac{t}{3} + \frac{K}{3}$

Schritt 3.1.2.1.2

Dividiere $\arctan (3 x)$ durch $1$ .

$\arctan (3 x) = \frac{t}{3} + \frac{K}{3}$

Schritt 3.2

Ziehe den inversen Arkustangens auf beiden Seiten der Gleichung, um $x$ aus dem Inneren des Arkustangens zu extrahieren.

$3 x = \tan (\frac{t}{3} + \frac{K}{3})$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $3 x = \tan (\frac{t}{3} + \frac{K}{3})$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = \tan (\frac{t}{3} + \frac{K}{3})$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\tan (\frac{t}{3} + \frac{K}{3})}{3}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\tan (\frac{t}{3} + \frac{K}{3})}{3}$

Schritt 3.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\tan (\frac{t}{3} + \frac{K}{3})}{3}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$x = \frac{\tan (\frac{t}{3} + K)}{3}$