Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = - 4 x + 15 x^{2}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = (- 4 x + 15 x^{2}) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int - 4 x + 15 x^{2} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int - 4 x + 15 x^{2} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{1} = \int - 4 x d x + \int 15 x^{2} d x$

Schritt 2.3.2

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 4$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = - 4 \int x d x + \int 15 x^{2} d x$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int 15 x^{2} d x$

Schritt 2.3.4

Da $15$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $15$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + 15 \int x^{2} d x$

Schritt 2.3.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + 15 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3})$

Schritt 2.3.6

Vereinfache.

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Schritt 2.3.6.1

Vereinfache.

$y + C_{1} = - 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + 15 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.6.2.1

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{- 4}{2} x^{2} + 15 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $2$ .

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Schritt 2.3.6.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2} x^{2} + 15 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.6.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} x^{2} + 15 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} x^{2} + 15 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y + C_{1} = \frac{- 2}{1} x^{2} + 15 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.2.2.4

Dividiere $- 2$ durch $1$ .

$y + C_{1} = - 2 x^{2} + 15 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.3

Kombiniere $15$ und $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = - 2 x^{2} + \frac{15}{3} x^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $15$ und $3$ .

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Schritt 2.3.6.2.4.1

Faktorisiere $3$ aus $15$ heraus.

$y + C_{1} = - 2 x^{2} + \frac{3 \cdot 5}{3} x^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.6.2.4.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$y + C_{1} = - 2 x^{2} + \frac{3 \cdot 5}{3 (1)} x^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + C_{1} = - 2 x^{2} + \frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 1} x^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y + C_{1} = - 2 x^{2} + \frac{5}{1} x^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.4.2.4

Dividiere $5$ durch $1$ .

$y + C_{1} = - 2 x^{2} + 5 x^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.7

Stelle die Terme um.

$y + C_{1} = 5 x^{3} - 2 x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = 5 x^{3} - 2 x^{2} + K$