Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} + 2 x y - 2 x e^{- x^{2}} = 0$

Schritt 1

Addiere $2 x e^{- x^{2}}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d x} + 2 x y = 2 x e^{- x^{2}}$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = 2 x$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int 2 x d x}$

Schritt 2.2

Integriere $2 x$ .

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Schritt 2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$e^{2 \int x d x}$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.2.3.1

Schreibe $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ als $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ um.

$e^{2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

Schritt 2.2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.3.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

Schritt 2.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

Schritt 2.2.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{1 x^{2} + C}$

Schritt 2.2.3.2.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$e^{x^{2} + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{x^{2}}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{x^{2}}$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{x^{2}}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + e^{x^{2}} (2 x y) = e^{x^{2}} (2 x e^{- x^{2}})$

Schritt 3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = e^{x^{2}} (2 x e^{- x^{2}})$

Schritt 3.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 2 e^{x^{2}} (x e^{- x^{2}})$

Schritt 3.4

Multipliziere $e^{x^{2}}$ mit $e^{- x^{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.1

Bewege $e^{- x^{2}}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 2 (e^{- x^{2}} e^{x^{2}}) x$

Schritt 3.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 2 e^{- x^{2} + x^{2}} x$

Schritt 3.4.3

Addiere $- x^{2}$ und $x^{2}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 2 e^{0} x$

Schritt 3.5

Vereinfache $2 e^{0} x$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 2 x$

Schritt 3.6

Stelle die Faktoren in $e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 2 x$ um.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 x y e^{x^{2}} = 2 x$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] = 2 x$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] d x = \int 2 x d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$e^{x^{2}} y = \int 2 x d x$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$e^{x^{2}} y = 2 \int x d x$

Schritt 7.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 7.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.3.1

Schreibe $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ als $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ um.

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Schritt 7.3.2

Vereinfache.

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Schritt 7.3.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$e^{x^{2}} y = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Schritt 7.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{x^{2}} y = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Schritt 7.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{x^{2}} y = 1 x^{2} + C$

Schritt 7.3.2.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$e^{x^{2}} y = x^{2} + C$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $e^{x^{2}} y = x^{2} + C$ durch $e^{x^{2}}$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{x^{2}} y = x^{2} + C$ durch $e^{x^{2}}$ .

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{x^{2}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{x^{2}}$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{x^{2}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$