Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{x^{2} e^{3 y + 9}}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{x^{2}} \cdot \frac{1}{e^{3 y + 9}}$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten mit $e^{3 y + 9}$ .

$e^{3 y + 9} \frac{d y}{d x} = e^{3 y + 9} (\frac{4}{x^{2}} \cdot \frac{1}{e^{3 y + 9}})$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Kombinieren.

$e^{3 y + 9} \frac{d y}{d x} = e^{3 y + 9} \frac{4 \cdot 1}{x^{2} e^{3 y + 9}}$

Schritt 1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{3 y + 9}$ .

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Schritt 1.3.2.1

Faktorisiere $e^{3 y + 9}$ aus $x^{2} e^{3 y + 9}$ heraus.

$e^{3 y + 9} \frac{d y}{d x} = e^{3 y + 9} \frac{4 \cdot 1}{e^{3 y + 9} x^{2}}$

Schritt 1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{3 y + 9} \frac{d y}{d x} = e^{3 y + 9} \frac{4 \cdot 1}{e^{3 y + 9} x^{2}}$

Schritt 1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e^{3 y + 9} \frac{d y}{d x} = \frac{4 \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e^{3 y + 9} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{x^{2}}$

Schritt 1.4

Schreibe die Gleichung um.

$e^{3 y + 9} d y = \frac{4}{x^{2}} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int e^{3 y + 9} d y = \int \frac{4}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Sei $u = 3 y + 9$ . Dann ist $d u = 3 d y$ , folglich $\frac{1}{3} d u = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.2.1.1

Es sei $u = 3 y + 9$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Differenziere $3 y + 9$ .

$\frac{d}{d y} [3 y + 9]$

Schritt 2.2.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 y + 9$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [9]$ .

$\frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [9]$

Schritt 2.2.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [3 y]$ .

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Schritt 2.2.1.1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $3 y$ nach $y$ gleich $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [9]$

Schritt 2.2.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [9]$

Schritt 2.2.1.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 + \frac{d}{d y} [9]$

Schritt 2.2.1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.2.1.1.4.1

Da $9$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$3 + 0$

Schritt 2.2.1.1.4.2

Addiere $3$ und $0$ .

$3$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int e^{u} \frac{1}{3} d u = \int \frac{4}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2.2

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{e^{u}}{3} d u = \int \frac{4}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2.3

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} \int e^{u} d u = \int \frac{4}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2.4

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$\frac{1}{3} (e^{u} + C_{1}) = \int \frac{4}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2.5

Vereinfache.

$\frac{1}{3} e^{u} + C_{1} = \int \frac{4}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2.6

Ersetze alle $u$ durch $3 y + 9$ .

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = \int \frac{4}{x^{2}} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = 4 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 2.3.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.3.2.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = 4 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 2.3.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.3.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = 4 \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 2.3.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = 4 \int x^{- 2} d x$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = 4 (- x^{- 1} + C_{2})$

Schritt 2.3.4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.3.4.1

Schreibe $4 (- x^{- 1} + C_{2})$ als $4 (- \frac{1}{x}) + C_{2}$ um.

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = 4 (- \frac{1}{x}) + C_{2}$

Schritt 2.3.4.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.4.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = - 4 \frac{1}{x} + C_{2}$

Schritt 2.3.4.2.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = \frac{- 4}{x} + C_{2}$

Schritt 2.3.4.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = - \frac{4}{x} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} = - \frac{4}{x} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $3$ .

$3 (\frac{1}{3} e^{3 y + 9}) = 3 (- \frac{4}{x} + K)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $3 (\frac{1}{3} e^{3 y + 9})$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $e^{3 y + 9}$ .

$3 \frac{e^{3 y + 9}}{3} = 3 (- \frac{4}{x} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{e^{3 y + 9}}{3} = 3 (- \frac{4}{x} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{3 y + 9} = 3 (- \frac{4}{x} + K)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $3 (- \frac{4}{x} + K)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{3 y + 9} = 3 (- \frac{4}{x}) + 3 K$

Schritt 3.2.2.1.2

Multipliziere $3 (- \frac{4}{x})$ .

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Schritt 3.2.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$e^{3 y + 9} = - 3 \frac{4}{x} + 3 K$

Schritt 3.2.2.1.2.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{4}{x}$ .

$e^{3 y + 9} = \frac{- 3 \cdot 4}{x} + 3 K$

Schritt 3.2.2.1.2.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$e^{3 y + 9} = \frac{- 12}{x} + 3 K$

Schritt 3.2.2.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e^{3 y + 9} = - \frac{12}{x} + 3 K$

Schritt 3.3

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{3 y + 9}) = \ln (- \frac{12}{x} + 3 K)$

Schritt 3.4

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 3.4.1

Zerlege $\ln (e^{3 y + 9})$ durch Herausziehen von $3 y + 9$ aus dem Logarithmus.

$(3 y + 9) \ln (e) = \ln (- \frac{12}{x} + 3 K)$

Schritt 3.4.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$(3 y + 9) \cdot 1 = \ln (- \frac{12}{x} + 3 K)$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $3 y + 9$ mit $1$ .

$3 y + 9 = \ln (- \frac{12}{x} + 3 K)$

Schritt 3.5

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 y = \ln (- \frac{12}{x} + 3 K) - 9$

Schritt 3.6

Teile jeden Ausdruck in $3 y = \ln (- \frac{12}{x} + 3 K) - 9$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.6.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y = \ln (- \frac{12}{x} + 3 K) - 9$ durch $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{\ln (- \frac{12}{x} + 3 K)}{3} + \frac{- 9}{3}$

Schritt 3.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\ln (- \frac{12}{x} + 3 K)}{3} + \frac{- 9}{3}$

Schritt 3.6.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\ln (- \frac{12}{x} + 3 K)}{3} + \frac{- 9}{3}$

Schritt 3.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.6.3.1

Dividiere $- 9$ durch $3$ .

$y = \frac{\ln (- \frac{12}{x} + 3 K)}{3} - 3$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{\ln (- \frac{12}{x} + K)}{3} - 3$