Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{- 5} + 4 x^{- 1}$ , $y (1) = 3$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = (3 x^{- 5} + 4 x^{- 1}) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int 3 x^{- 5} + 4 x^{- 1} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int 3 x^{- 5} + 4 x^{- 1} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{1} = \int 3 x^{- 5} d x + \int 4 x^{- 1} d x$

Schritt 2.3.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 3 \int x^{- 5} d x + \int 4 x^{- 1} d x$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 5}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ .

$y + C_{1} = 3 (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C_{2}) + \int 4 x^{- 1} d x$

Schritt 2.3.4

Vereinfache.

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Schritt 2.3.4.1

Kombiniere $x^{- 4}$ und $\frac{1}{4}$ .

$y + C_{1} = 3 (- \frac{x^{- 4}}{4} + C_{2}) + \int 4 x^{- 1} d x$

Schritt 2.3.4.2

Bringe $x^{- 4}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y + C_{1} = 3 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C_{2}) + \int 4 x^{- 1} d x$

Schritt 2.3.5

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 3 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C_{2}) + 4 \int x^{- 1} d x$

Schritt 2.3.6

Das Integral von $x^{- 1}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = 3 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C_{2}) + 4 (\ln (| x |) + C_{3})$

Schritt 2.3.7

Vereinfache.

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Schritt 2.3.7.1

Vereinfache.

$y + C_{1} = \frac{- 3}{4 x^{4}} + 4 \ln (| x |) + C_{4}$

Schritt 2.3.7.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y + C_{1} = - \frac{3}{4 x^{4}} + 4 \ln (| x |) + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$y = - \frac{3}{4 x^{4}} + 4 \ln (| x |) + C$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $C$ zu finden indem $1$ für $x$ und $3$ für $y$ in $y = - \frac{3}{4 x^{4}} + 4 \ln (| x |) + C$ ersetzt wird.

$3 = - \frac{3}{4 \cdot 1^{4}} + 4 \ln (| 1 |) + C$

Schritt 4

Löse nach $C$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{3}{4 \cdot 1^{4}} + 4 \ln (| 1 |) + C = 3$ um.

$- \frac{3}{4 \cdot 1^{4}} + 4 \ln (| 1 |) + C = 3$

Schritt 4.2

Vereinfache $- \frac{3}{4 \cdot 1^{4}} + 4 \ln (| 1 |) + C$ .

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{3}{4 \cdot 1} + 4 \ln (| 1 |) + C = 3$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$- \frac{3}{4} + 4 \ln (| 1 |) + C = 3$

Schritt 4.2.1.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$- \frac{3}{4} + 4 \ln (1) + C = 3$

Schritt 4.2.1.4

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$- \frac{3}{4} + 4 \cdot 0 + C = 3$

Schritt 4.2.1.5

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$- \frac{3}{4} + 0 + C = 3$

Schritt 4.2.2

Addiere $- \frac{3}{4}$ und $0$ .

$- \frac{3}{4} + C = 3$

Schritt 4.3

Bringe alle Terme, die nicht $C$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Addiere $\frac{3}{4}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$C = 3 + \frac{3}{4}$

Schritt 4.3.2

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$C = 3 \cdot \frac{4}{4} + \frac{3}{4}$

Schritt 4.3.3

Kombiniere $3$ und $\frac{4}{4}$ .

$C = \frac{3 \cdot 4}{4} + \frac{3}{4}$

Schritt 4.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$C = \frac{3 \cdot 4 + 3}{4}$

Schritt 4.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$C = \frac{12 + 3}{4}$

Schritt 4.3.5.2

Addiere $12$ und $3$ .

$C = \frac{15}{4}$

Schritt 5

Setze $\frac{15}{4}$ für $C$ in $y = - \frac{3}{4 x^{4}} + 4 \ln (| x |) + C$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.1

Ersetze $C$ durch $\frac{15}{4}$ .

$y = - \frac{3}{4 x^{4}} + 4 \ln (| x |) + \frac{15}{4}$

Schritt 5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache $4 \ln (| x |)$ , indem du $4$ in den Logarithmus ziehst.

$y = - \frac{3}{4 x^{4}} + \ln ({| x |}^{4}) + \frac{15}{4}$

Schritt 5.2.2

Entferne den Absolutwert in ${| x |}^{4}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$y = - \frac{3}{4 x^{4}} + \ln (x^{4}) + \frac{15}{4}$