Analysis Beispiele

$9 x y \frac{d y}{d x} = 8 y^{2} + 5 x^{2}$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als eine Funktion von $\frac{y}{x}$ um.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $9 x y \frac{d y}{d x} = 8 y^{2} + 5 x^{2}$ durch $9 x y$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.1

Teile jeden Ausdruck in $9 x y \frac{d y}{d x} = 8 y^{2} + 5 x^{2}$ durch $9 x y$ .

$\frac{9 x y \frac{d y}{d x}}{9 x y} = \frac{8 y^{2}}{9 x y} + \frac{5 x^{2}}{9 x y}$

Schritt 1.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 1.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 x y \frac{d y}{d x}}{9 x y} = \frac{8 y^{2}}{9 x y} + \frac{5 x^{2}}{9 x y}$

Schritt 1.1.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{8 y^{2}}{9 x y} + \frac{5 x^{2}}{9 x y}$

Schritt 1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{8 y^{2}}{9 x y} + \frac{5 x^{2}}{9 x y}$

Schritt 1.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{8 y^{2}}{9 x y} + \frac{5 x^{2}}{9 x y}$

Schritt 1.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.1.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{8 y^{2}}{9 x y} + \frac{5 x^{2}}{9 x y}$

Schritt 1.1.2.3.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{8 y^{2}}{9 x y} + \frac{5 x^{2}}{9 x y}$

Schritt 1.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{2}$ und $y$ .

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Schritt 1.1.3.1.1.1

Faktorisiere $y$ aus $8 y^{2}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (8 y)}{9 x y} + \frac{5 x^{2}}{9 x y}$

Schritt 1.1.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.3.1.1.2.1

Faktorisiere $y$ aus $9 x y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (8 y)}{y (9 x)} + \frac{5 x^{2}}{9 x y}$

Schritt 1.1.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (8 y)}{y (9 x)} + \frac{5 x^{2}}{9 x y}$

Schritt 1.1.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{8 y}{9 x} + \frac{5 x^{2}}{9 x y}$

Schritt 1.1.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 1.1.3.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $5 x^{2}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{8 y}{9 x} + \frac{x (5 x)}{9 x y}$

Schritt 1.1.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.3.1.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $9 x y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{8 y}{9 x} + \frac{x (5 x)}{x (9 y)}$

Schritt 1.1.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{8 y}{9 x} + \frac{x (5 x)}{x (9 y)}$

Schritt 1.1.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{8 y}{9 x} + \frac{5 x}{9 y}$

Schritt 1.2

Klammere $\frac{y}{x}$ von $\frac{8 y}{9 x}$ aus.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $\frac{y}{x}$ aus $\frac{8 y}{9 x}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} \cdot \frac{8}{9} + \frac{5 x}{9 y}$

Schritt 1.2.2

Stelle $\frac{y}{x}$ und $\frac{8}{9}$ um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{8}{9} \cdot \frac{y}{x} + \frac{5 x}{9 y}$

Schritt 1.3

Schreibe die Differentialgleichung als $f (\frac{y}{x})$ um.

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Schritt 1.3.1

Klammere $\frac{x}{y}$ von $\frac{5 x}{9 y}$ aus.

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Schritt 1.3.1.1

Faktorisiere $\frac{x}{y}$ aus $\frac{5 x}{9 y}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{8}{9} \cdot \frac{y}{x} + \frac{x}{y} \cdot \frac{5}{9}$

Schritt 1.3.1.2

Stelle $\frac{x}{y}$ und $\frac{5}{9}$ um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{8}{9} \cdot \frac{y}{x} + \frac{5}{9} \cdot \frac{x}{y}$

Schritt 1.3.2

Schreibe $\frac{x}{y}$ als ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{8}{9} \cdot \frac{y}{x} + \frac{5}{9} {(\frac{y}{x})}^{- 1}$

Schritt 2

Es gilt $V = \frac{y}{x}$ . Ersetze $V$ für $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{8}{9} V + \frac{5}{9} V^{- 1}$

Schritt 3

Löse $V = \frac{y}{x}$ nach $y$ auf.

$y = V x$

Schritt 4

Verwende die Produktregel um die Ableitung von $y = V x$ nach $x$ zu finden.

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Schritt 5

Ersetze $\frac{d y}{d x}$ durch $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{8}{9} V + \frac{5}{9} V^{- 1}$

Schritt 6

Löse die substituierte Differentialgleichung.

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Schritt 6.1

Separiere die Variablen.

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Schritt 6.1.1

Löse nach $\frac{d V}{d x}$ auf.

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Schritt 6.1.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1.1.1

Kombiniere $\frac{8}{9}$ und $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{8 V}{9} + \frac{5}{9} V^{- 1}$

Schritt 6.1.1.1.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{8 V}{9} + \frac{5}{9} \cdot \frac{1}{V}$

Schritt 6.1.1.1.3

Mutltipliziere $\frac{5}{9}$ mit $\frac{1}{V}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{8 V}{9} + \frac{5}{9 V}$

Schritt 6.1.1.2

Subtrahiere $V$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{8 V}{9} + \frac{5}{9 V} - V$

Schritt 6.1.1.3

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d V}{d x} = \frac{8 V}{9} + \frac{5}{9 V} - V$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 6.1.1.3.1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d V}{d x} = \frac{8 V}{9} + \frac{5}{9 V} - V$ durch $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{8 V}{9}}{x} + \frac{\frac{5}{9 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Schritt 6.1.1.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 6.1.1.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{8 V}{9}}{x} + \frac{\frac{5}{9 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Schritt 6.1.1.3.2.1.2

Dividiere $\frac{d V}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{8 V}{9}}{x} + \frac{\frac{5}{9 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.1.1.3.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{8 V}{9} + \frac{5}{9 V} - V}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.2

Um $- V$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{5}{9 V} + \frac{8 V}{9} - V \cdot \frac{9}{9}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.1.1.3.3.3.1

Kombiniere $- V$ und $\frac{9}{9}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{5}{9 V} + \frac{8 V}{9} + \frac{- V \cdot 9}{9}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{5}{9 V} + \frac{8 V - V \cdot 9}{9}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1.3.3.3.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1.3.3.3.3.1.1

Faktorisiere $V$ aus $8 V - V \cdot 9$ heraus.

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Schritt 6.1.1.3.3.3.3.1.1.1

Faktorisiere $V$ aus $8 V$ heraus.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{5}{9 V} + \frac{V \cdot 8 - V \cdot 9}{9}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.3.3.1.1.2

Faktorisiere $V$ aus $- V \cdot 9$ heraus.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{5}{9 V} + \frac{V \cdot 8 + V (- 1 \cdot 9)}{9}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.3.3.1.1.3

Faktorisiere $V$ aus $V \cdot 8 + V (- 1 \cdot 9)$ heraus.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{5}{9 V} + \frac{V (8 - 1 \cdot 9)}{9}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.3.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{5}{9 V} + \frac{V (8 - 9)}{9}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.3.3.1.3

Subtrahiere $9$ von $8$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{5}{9 V} + \frac{V \cdot - 1}{9}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.3.3.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{5}{9 V} + \frac{- 1 \cdot V}{9}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.3.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{5}{9 V} - \frac{V}{9}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1.3.3.4.1

Um $- \frac{V}{9}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{5}{9 V} - \frac{V}{9} \cdot \frac{V}{V}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.4.2

Mutltipliziere $\frac{V}{9}$ mit $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{5}{9 V} - \frac{V \cdot V}{9 V}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{5 - V \cdot V}{9 V}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.4.4

Multipliziere $V$ mit $V$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1.1.3.3.4.4.1

Bewege $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{5 - (V \cdot V)}{9 V}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.4.4.2

Mutltipliziere $V$ mit $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{5 - V^{2}}{9 V}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{d V}{d x} = \frac{5 - V^{2}}{9 V} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.6

Mutltipliziere $\frac{5 - V^{2}}{9 V}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{5 - V^{2}}{9 V x}$

Schritt 6.1.2

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d V}{d x} = \frac{5 - V^{2}}{9 V} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 6.1.3

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{9 V}{5 - V^{2}}$ .

$\frac{9 V}{5 - V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{9 V}{5 - V^{2}} (\frac{5 - V^{2}}{9 V} \cdot \frac{1}{x})$

Schritt 6.1.4

Vereinfache.

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Schritt 6.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{5 - V^{2}}{9 V}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$\frac{9 V}{5 - V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{9 V}{5 - V^{2}} \cdot \frac{5 - V^{2}}{9 V x}$

Schritt 6.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9 V$ .

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Schritt 6.1.4.2.1

Faktorisiere $9 V$ aus $9 V x$ heraus.

$\frac{9 V}{5 - V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{9 V}{5 - V^{2}} \cdot \frac{5 - V^{2}}{9 V (x)}$

Schritt 6.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 V}{5 - V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{9 V}{5 - V^{2}} \cdot \frac{5 - V^{2}}{9 V x}$

Schritt 6.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{9 V}{5 - V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{5 - V^{2}} \cdot \frac{5 - V^{2}}{x}$

Schritt 6.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5 - V^{2}$ .

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Schritt 6.1.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 V}{5 - V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{5 - V^{2}} \cdot \frac{5 - V^{2}}{x}$

Schritt 6.1.4.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{9 V}{5 - V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Schritt 6.1.5

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{9 V}{5 - V^{2}} d V = \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 6.2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{9 V}{5 - V^{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Da $9$ konstant bezüglich $V$ ist, ziehe $9$ aus dem Integral.

$9 \int \frac{V}{5 - V^{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.2

Sei $u = 5 - V^{2}$ . Dann ist $d u = - 2 V d V$ , folglich $- \frac{1}{2} d u = V d V$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.2.2.2.1

Es sei $u = 5 - V^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d V}$ .

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Schritt 6.2.2.2.1.1

Differenziere $5 - V^{2}$ .

$\frac{d}{d V} [5 - V^{2}]$

Schritt 6.2.2.2.1.2

Differenziere.

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Schritt 6.2.2.2.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 - V^{2}$ nach $V$ $\frac{d}{d V} [5] + \frac{d}{d V} [- V^{2}]$ .

$\frac{d}{d V} [5] + \frac{d}{d V} [- V^{2}]$

Schritt 6.2.2.2.1.2.2

Da $5$ konstant bezüglich $V$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $V$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d V} [- V^{2}]$

Schritt 6.2.2.2.1.3

Berechne $\frac{d}{d V} [- V^{2}]$ .

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Schritt 6.2.2.2.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $V$ ist, ist die Ableitung von $- V^{2}$ nach $V$ gleich $- \frac{d}{d V} [V^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d V} [V^{2}]$

Schritt 6.2.2.2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ gleich $n V^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 - (2 V)$

Schritt 6.2.2.2.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$0 - 2 V$

Schritt 6.2.2.2.1.4

Subtrahiere $2 V$ von $0$ .

$- 2 V$

Schritt 6.2.2.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$9 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3

Vereinfache.

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Schritt 6.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$9 \int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$9 \int - \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$9 \int - \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$9 (- \int \frac{1}{2 u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$- 9 \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.6

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$- 9 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.7

Vereinfache.

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Schritt 6.2.2.7.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 9$ .

$\frac{- 9}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.7.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{9}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.8

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$- \frac{9}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.9

Vereinfache.

$- \frac{9}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.10

Ersetze alle $u$ durch $5 - V^{2}$ .

$- \frac{9}{2} \ln (| 5 - V^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.3

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$- \frac{9}{2} \ln (| 5 - V^{2} |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Schritt 6.2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$- \frac{9}{2} \ln (| 5 - V^{2} |) = \ln (| x |) + C$

Schritt 6.3

Löse nach $V$ auf.

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Schritt 6.3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- \frac{2}{9}$ .

$- \frac{2}{9} (- \frac{9}{2} \ln (| 5 - V^{2} |)) = - \frac{2}{9} (\ln (| x |) + C)$

Schritt 6.3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 6.3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.1.1

Vereinfache $- \frac{2}{9} (- \frac{9}{2} \ln (| 5 - V^{2} |))$ .

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Schritt 6.3.2.1.1.1

Kombiniere $\ln (| 5 - V^{2} |)$ und $\frac{9}{2}$ .

$- \frac{2}{9} (- \frac{\ln (| 5 - V^{2} |) \cdot 9}{2}) = - \frac{2}{9} (\ln (| x |) + C)$

Schritt 6.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.2.1.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2}{9}$ in den Zähler.

$\frac{- 2}{9} (- \frac{\ln (| 5 - V^{2} |) \cdot 9}{2}) = - \frac{2}{9} (\ln (| x |) + C)$

Schritt 6.3.2.1.1.2.2

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\ln (| 5 - V^{2} |) \cdot 9}{2}$ in den Zähler.

$\frac{- 2}{9} \cdot \frac{- \ln (| 5 - V^{2} |) \cdot 9}{2} = - \frac{2}{9} (\ln (| x |) + C)$

Schritt 6.3.2.1.1.2.3

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{2 (- 1)}{9} \cdot \frac{- \ln (| 5 - V^{2} |) \cdot 9}{2} = - \frac{2}{9} (\ln (| x |) + C)$

Schritt 6.3.2.1.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot - 1}{9} \cdot \frac{- \ln (| 5 - V^{2} |) \cdot 9}{2} = - \frac{2}{9} (\ln (| x |) + C)$

Schritt 6.3.2.1.1.2.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{9} (- \ln (| 5 - V^{2} |) \cdot 9) = - \frac{2}{9} (\ln (| x |) + C)$

Schritt 6.3.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 6.3.2.1.1.3.1

Faktorisiere $9$ aus $- \ln (| 5 - V^{2} |) \cdot 9$ heraus.

$\frac{- 1}{9} (9 \cdot (- \ln (| 5 - V^{2} |))) = - \frac{2}{9} (\ln (| x |) + C)$

Schritt 6.3.2.1.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{9} (9 \cdot (- \ln (| 5 - V^{2} |))) = - \frac{2}{9} (\ln (| x |) + C)$

Schritt 6.3.2.1.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$- - \ln (| 5 - V^{2} |) = - \frac{2}{9} (\ln (| x |) + C)$

Schritt 6.3.2.1.1.4

Multipliziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.2.1.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \ln (| 5 - V^{2} |) = - \frac{2}{9} (\ln (| x |) + C)$

Schritt 6.3.2.1.1.4.2

Mutltipliziere $\ln (| 5 - V^{2} |)$ mit $1$ .

$\ln (| 5 - V^{2} |) = - \frac{2}{9} (\ln (| x |) + C)$

Schritt 6.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.2.2.1

Vereinfache $- \frac{2}{9} (\ln (| x |) + C)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.2.2.1.1

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.3.2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| 5 - V^{2} |) = - \frac{2}{9} \ln (| x |) - \frac{2}{9} C$

Schritt 6.3.2.2.1.1.2

Kombiniere $\ln (| x |)$ und $\frac{2}{9}$ .

$\ln (| 5 - V^{2} |) = - \frac{\ln (| x |) \cdot 2}{9} - \frac{2}{9} C$

Schritt 6.3.2.2.1.1.3

Kombiniere $C$ und $\frac{2}{9}$ .

$\ln (| 5 - V^{2} |) = - \frac{\ln (| x |) \cdot 2}{9} - \frac{C \cdot 2}{9}$

Schritt 6.3.2.2.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.2.2.1.2.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\ln (| x |)$ .

$\ln (| 5 - V^{2} |) = - \frac{2 \cdot \ln (| x |)}{9} - \frac{C \cdot 2}{9}$

Schritt 6.3.2.2.1.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $C$ .

$\ln (| 5 - V^{2} |) = - \frac{2 \ln (| x |)}{9} - \frac{2 C}{9}$

Schritt 6.3.3

Multipliziere jeden Term in $\ln (| 5 - V^{2} |) = - \frac{2 \ln (| x |)}{9} - \frac{2 C}{9}$ mit $9$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 6.3.3.1

Multipliziere jeden Term in $\ln (| 5 - V^{2} |) = - \frac{2 \ln (| x |)}{9} - \frac{2 C}{9}$ mit $9$ .

$\ln (| 5 - V^{2} |) \cdot 9 = - \frac{2 \ln (| x |)}{9} \cdot 9 - \frac{2 C}{9} \cdot 9$

Schritt 6.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.3.2.1

Bringe $9$ auf die linke Seite von $\ln (| 5 - V^{2} |)$ .

$9 \ln (| 5 - V^{2} |) = - \frac{2 \ln (| x |)}{9} \cdot 9 - \frac{2 C}{9} \cdot 9$

Schritt 6.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 6.3.3.3.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2 \ln (| x |)}{9}$ in den Zähler.

$9 \ln (| 5 - V^{2} |) = \frac{- 2 \ln (| x |)}{9} \cdot 9 - \frac{2 C}{9} \cdot 9$

Schritt 6.3.3.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 \ln (| 5 - V^{2} |) = \frac{- 2 \ln (| x |)}{9} \cdot 9 - \frac{2 C}{9} \cdot 9$

Schritt 6.3.3.3.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$9 \ln (| 5 - V^{2} |) = - 2 \ln (| x |) - \frac{2 C}{9} \cdot 9$

Schritt 6.3.3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 6.3.3.3.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2 C}{9}$ in den Zähler.

$9 \ln (| 5 - V^{2} |) = - 2 \ln (| x |) + \frac{- 2 C}{9} \cdot 9$

Schritt 6.3.3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 \ln (| 5 - V^{2} |) = - 2 \ln (| x |) + \frac{- 2 C}{9} \cdot 9$

Schritt 6.3.3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$9 \ln (| 5 - V^{2} |) = - 2 \ln (| x |) - 2 C$

Schritt 6.3.4

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$9 \ln (| 5 - V^{2} |) + 2 \ln (| x |) = - 2 C$

Schritt 6.3.5

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.5.1

Vereinfache $9 \ln (| 5 - V^{2} |) + 2 \ln (| x |)$ .

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Schritt 6.3.5.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.5.1.1.1

Vereinfache $9 \ln (| 5 - V^{2} |)$ , indem du $9$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln ({| 5 - V^{2} |}^{9}) + 2 \ln (| x |) = - 2 C$

Schritt 6.3.5.1.1.2

Vereinfache $2 \ln (| x |)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln ({| 5 - V^{2} |}^{9}) + \ln ({| x |}^{2}) = - 2 C$

Schritt 6.3.5.1.1.3

Entferne den Absolutwert in ${| x |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$\ln ({| 5 - V^{2} |}^{9}) + \ln (x^{2}) = - 2 C$

Schritt 6.3.5.1.2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ({| 5 - V^{2} |}^{9} x^{2}) = - 2 C$

Schritt 6.3.5.1.3

Stelle die Faktoren in $\ln ({| 5 - V^{2} |}^{9} x^{2})$ um.

$\ln (x^{2} {| 5 - V^{2} |}^{9}) = - 2 C$

Schritt 6.3.6

Um nach $V$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (x^{2} {| 5 - V^{2} |}^{9})} = e^{- 2 C}$

Schritt 6.3.7

Schreibe $\ln (x^{2} {| 5 - V^{2} |}^{9}) = - 2 C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- 2 C} = x^{2} {| 5 - V^{2} |}^{9}$

Schritt 6.3.8

Löse nach $V$ auf.

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Schritt 6.3.8.1

Schreibe die Gleichung als $x^{2} {| 5 - V^{2} |}^{9} = e^{- 2 C}$ um.

$x^{2} {| 5 - V^{2} |}^{9} = e^{- 2 C}$

Schritt 6.3.8.2

Teile jeden Ausdruck in $x^{2} {| 5 - V^{2} |}^{9} = e^{- 2 C}$ durch $x^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.8.2.1

Teile jeden Ausdruck in $x^{2} {| 5 - V^{2} |}^{9} = e^{- 2 C}$ durch $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} {| 5 - V^{2} |}^{9}}{x^{2}} = \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}$

Schritt 6.3.8.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.8.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 6.3.8.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} {| 5 - V^{2} |}^{9}}{x^{2}} = \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}$

Schritt 6.3.8.2.2.1.2

Dividiere ${| 5 - V^{2} |}^{9}$ durch $1$ .

${| 5 - V^{2} |}^{9} = \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}$

Schritt 6.3.8.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$| 5 - V^{2} | = \sqrt[9]{\frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}}$

Schritt 6.3.8.4

Vereinfache $\sqrt[9]{\frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}}$ .

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Schritt 6.3.8.4.1

Schreibe $\sqrt[9]{\frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}}$ als $\frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}}}{\sqrt[9]{x^{2}}}$ um.

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}}}{\sqrt[9]{x^{2}}}$

Schritt 6.3.8.4.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}}}{\sqrt[9]{x^{2}}}$ mit $\frac{{\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}{{\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}$ .

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}}}{\sqrt[9]{x^{2}}} \cdot \frac{{\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}{{\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}$

Schritt 6.3.8.4.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.3.8.4.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}}}{\sqrt[9]{x^{2}}}$ mit $\frac{{\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}{{\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}$ .

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}} {\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}{\sqrt[9]{x^{2}} {\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}$

Schritt 6.3.8.4.3.2

Potenziere $\sqrt[9]{x^{2}}$ mit $1$ .

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}} {\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}{{\sqrt[9]{x^{2}}}^{1} {\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}$

Schritt 6.3.8.4.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}} {\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}{{\sqrt[9]{x^{2}}}^{1 + 8}}$

Schritt 6.3.8.4.3.4

Addiere $1$ und $8$ .

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}} {\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}{{\sqrt[9]{x^{2}}}^{9}}$

Schritt 6.3.8.4.3.5

Schreibe ${\sqrt[9]{x^{2}}}^{9}$ als $x^{2}$ um.

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Schritt 6.3.8.4.3.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[9]{x^{2}}$ als $x^{\frac{2}{9}}$ neu zu schreiben.

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}} {\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}{{(x^{\frac{2}{9}})}^{9}}$

Schritt 6.3.8.4.3.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}} {\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}{x^{\frac{2}{9} \cdot 9}}$

Schritt 6.3.8.4.3.5.3

Kombiniere $\frac{2}{9}$ und $9$ .

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}} {\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}{x^{\frac{2 \cdot 9}{9}}}$

Schritt 6.3.8.4.3.5.4

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}} {\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}{x^{\frac{18}{9}}}$

Schritt 6.3.8.4.3.5.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $18$ und $9$ .

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Schritt 6.3.8.4.3.5.5.1

Faktorisiere $9$ aus $18$ heraus.

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}} {\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}{x^{\frac{9 \cdot 2}{9}}}$

Schritt 6.3.8.4.3.5.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.3.8.4.3.5.5.2.1

Faktorisiere $9$ aus $9$ heraus.

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}} {\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}{x^{\frac{9 \cdot 2}{9 (1)}}}$

Schritt 6.3.8.4.3.5.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}} {\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}{x^{\frac{9 \cdot 2}{9 \cdot 1}}}$

Schritt 6.3.8.4.3.5.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}} {\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}{x^{\frac{2}{1}}}$

Schritt 6.3.8.4.3.5.5.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}} {\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}{x^{2}}$

Schritt 6.3.8.4.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.3.8.4.4.1

Schreibe ${\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}$ als $\sqrt[9]{{(x^{2})}^{8}}$ um.

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}} \sqrt[9]{{(x^{2})}^{8}}}{x^{2}}$

Schritt 6.3.8.4.4.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{8}$ .

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Schritt 6.3.8.4.4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}} \sqrt[9]{x^{2 \cdot 8}}}{x^{2}}$

Schritt 6.3.8.4.4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}} \sqrt[9]{x^{16}}}{x^{2}}$

Schritt 6.3.8.4.4.3

Faktorisiere $x^{9}$ aus.

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}} \sqrt[9]{x^{9} x^{7}}}{x^{2}}$

Schritt 6.3.8.4.4.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}} x \sqrt[9]{x^{7}}}{x^{2}}$

Schritt 6.3.8.4.4.5

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$| 5 - V^{2} | = \frac{x \sqrt[9]{e^{- 2 C} x^{7}}}{x^{2}}$

Schritt 6.3.8.4.5

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.3.8.4.5.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

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Schritt 6.3.8.4.5.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x \sqrt[9]{e^{- 2 C} x^{7}}$ heraus.

$| 5 - V^{2} | = \frac{x \sqrt[9]{e^{- 2 C} x^{7}}}{x^{2}}$

Schritt 6.3.8.4.5.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.3.8.4.5.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$| 5 - V^{2} | = \frac{x \sqrt[9]{e^{- 2 C} x^{7}}}{x \cdot x}$

Schritt 6.3.8.4.5.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$| 5 - V^{2} | = \frac{x \sqrt[9]{e^{- 2 C} x^{7}}}{x \cdot x}$

Schritt 6.3.8.4.5.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C} x^{7}}}{x}$

Schritt 6.3.8.4.5.2

Stelle die Faktoren in $\frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C} x^{7}}}{x}$ um.

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{x^{7} e^{- 2 C}}}{x}$

Schritt 6.3.8.5

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$5 - V^{2} = \pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} e^{- 2 C}}}{x}$

Schritt 6.3.8.6

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- V^{2} = \pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} e^{- 2 C}}}{x} - 5$

Schritt 6.3.8.7

Teile jeden Ausdruck in $- V^{2} = \pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} e^{- 2 C}}}{x} - 5$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.8.7.1

Teile jeden Ausdruck in $- V^{2} = \pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} e^{- 2 C}}}{x} - 5$ durch $- 1$ .

$\frac{- V^{2}}{- 1} = \frac{\pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} e^{- 2 C}}}{x}}{- 1} + \frac{- 5}{- 1}$

Schritt 6.3.8.7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.8.7.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{V^{2}}{1} = \frac{\pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} e^{- 2 C}}}{x}}{- 1} + \frac{- 5}{- 1}$

Schritt 6.3.8.7.2.2

Dividiere $V^{2}$ durch $1$ .

$V^{2} = \frac{\pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} e^{- 2 C}}}{x}}{- 1} + \frac{- 5}{- 1}$

Schritt 6.3.8.7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.8.7.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.8.7.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} e^{- 2 C}}}{x}}{- 1}$ .

$V^{2} = - 1 \cdot (\pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} e^{- 2 C}}}{x}) + \frac{- 5}{- 1}$

Schritt 6.3.8.7.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot (\pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} e^{- 2 C}}}{x})$ als $- (\pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} e^{- 2 C}}}{x})$ um.

$V^{2} = - (\pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} e^{- 2 C}}}{x}) + \frac{- 5}{- 1}$

Schritt 6.3.8.7.3.1.3

Dividiere $- 5$ durch $- 1$ .

$V^{2} = - (\pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} e^{- 2 C}}}{x}) + 5$

Schritt 6.3.8.8

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$V = \pm \sqrt{- (\pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} e^{- 2 C}}}{x}) + 5}$

Schritt 6.4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$V = \pm \sqrt{- (\pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} C}}{x}) + 5}$

Schritt 7

Ersetze $V$ durch $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} = \pm \sqrt{- (\pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} C}}{x}) + 5}$

Schritt 8

Löse $\frac{y}{x} = \pm \sqrt{- (\pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} C}}{x}) + 5}$ nach $y$ auf.

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Schritt 8.1

Multipliziere beide Seiten mit $x$ .

$\frac{y}{x} x = (\pm \sqrt{- (\pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} C}}{x}) + 5}) x$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{x} x = (\pm \sqrt{- (\pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} C}}{x}) + 5}) x$

Schritt 8.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = (\pm \sqrt{- (\pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} C}}{x}) + 5}) x$