Analysis Beispiele

$\frac{d s}{d t} = 8 t {(3 t^{2} - 5)}^{3}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d s = 8 t {(3 t^{2} - 5)}^{3} d t$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d s = \int 8 t {(3 t^{2} - 5)}^{3} d t$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$s + C_{1} = \int 8 t {(3 t^{2} - 5)}^{3} d t$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $8$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $8$ aus dem Integral.

$s + C_{1} = 8 \int t {(3 t^{2} - 5)}^{3} d t$

Schritt 2.3.2

Sei $u = 3 t^{2} - 5$ . Dann ist $d u = 6 t d t$ , folglich $\frac{1}{6} d u = t d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.2.1

Es sei $u = 3 t^{2} - 5$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Differenziere $3 t^{2} - 5$ .

$\frac{d}{d t} [3 t^{2} - 5]$

Schritt 2.3.2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 t^{2} - 5$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 5]$ .

$\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 5]$

Schritt 2.3.2.1.3

Berechne $\frac{d}{d t} [3 t^{2}]$ .

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Schritt 2.3.2.1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $3 t^{2}$ nach $t$ gleich $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 5]$

Schritt 2.3.2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 5]$

Schritt 2.3.2.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 t + \frac{d}{d t} [- 5]$

Schritt 2.3.2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.3.2.1.4.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$6 t + 0$

Schritt 2.3.2.1.4.2

Addiere $6 t$ und $0$ .

$6 t$

Schritt 2.3.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$s + C_{1} = 8 \int u^{3} \frac{1}{6} d u$

Schritt 2.3.3

Kombiniere $u^{3}$ und $\frac{1}{6}$ .

$s + C_{1} = 8 \int \frac{u^{3}}{6} d u$

Schritt 2.3.4

Da $\frac{1}{6}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{6}$ aus dem Integral.

$s + C_{1} = 8 (\frac{1}{6} \int u^{3} d u)$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $8$ .

$s + C_{1} = \frac{8}{6} \int u^{3} d u$

Schritt 2.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $6$ .

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Schritt 2.3.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$s + C_{1} = \frac{2 (4)}{6} \int u^{3} d u$

Schritt 2.3.5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.5.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 3} \int u^{3} d u$

Schritt 2.3.5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 3} \int u^{3} d u$

Schritt 2.3.5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$s + C_{1} = \frac{4}{3} \int u^{3} d u$

Schritt 2.3.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{3}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$s + C_{1} = \frac{4}{3} (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$

Schritt 2.3.7

Vereinfache.

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Schritt 2.3.7.1

Schreibe $\frac{4}{3} (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$ als $\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C_{2}$ um.

$s + C_{1} = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.7.2.1

Mutltipliziere $\frac{4}{3}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$s + C_{1} = \frac{4}{3 \cdot 4} u^{4} + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$s + C_{1} = \frac{4}{12} u^{4} + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $12$ .

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Schritt 2.3.7.2.3.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$s + C_{1} = \frac{4 (1)}{12} u^{4} + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.7.2.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$s + C_{1} = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3} u^{4} + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$s + C_{1} = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3} u^{4} + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$s + C_{1} = \frac{1}{3} u^{4} + C_{2}$

Schritt 2.3.8

Ersetze alle $u$ durch $3 t^{2} - 5$ .

$s + C_{1} = \frac{1}{3} {(3 t^{2} - 5)}^{4} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$s = \frac{1}{3} {(3 t^{2} - 5)}^{4} + K$