Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} - 3 y = e^{2 x}$

Schritt 1

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = - 3$ gilt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int - 3 d x}$

Schritt 1.2

Wende die Konstantenregel an.

$e^{- 3 x + C}$

Schritt 1.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{- 3 x}$

Schritt 2

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{- 3 x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{- 3 x}$ .

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 3 x} (- 3 y) = e^{- 3 x} e^{2 x}$

Schritt 2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = e^{- 3 x} e^{2 x}$

Schritt 2.3

Multipliziere $e^{- 3 x}$ mit $e^{2 x}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = e^{- 3 x + 2 x}$

Schritt 2.3.2

Addiere $- 3 x$ und $2 x$ .

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = e^{- x}$

Schritt 2.4

Stelle die Faktoren in $e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = e^{- x}$ um.

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 y e^{- 3 x} = e^{- x}$

Schritt 3

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{- 3 x} y] = e^{- x}$

Schritt 4

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 3 x} y] d x = \int e^{- x} d x$

Schritt 5

Integriere die linke Seite.

$e^{- 3 x} y = \int e^{- x} d x$

Schritt 6

Integriere die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Sei $u = - x$ . Dann ist $d u = - d x$ , folglich $- d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1

Es sei $u = - x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1.1

Differenziere $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 6.1.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 6.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 6.1.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 6.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$e^{- 3 x} y = \int - e^{u} d u$

Schritt 6.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- 3 x} y = - \int e^{u} d u$

Schritt 6.3

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$e^{- 3 x} y = - (e^{u} + C)$

Schritt 6.4

Vereinfache.

$e^{- 3 x} y = - e^{u} + C$

Schritt 6.5

Ersetze alle $u$ durch $- x$ .

$e^{- 3 x} y = - e^{- x} + C$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $e^{- 3 x} y = - e^{- x} + C$ durch $e^{- 3 x}$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{- 3 x} y = - e^{- x} + C$ durch $e^{- 3 x}$ .

$\frac{e^{- 3 x} y}{e^{- 3 x}} = \frac{- e^{- x}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- 3 x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{- 3 x} y}{e^{- 3 x}} = \frac{- e^{- x}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- e^{- x}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $e^{- x}$ und $e^{- 3 x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.1.1

Faktorisiere $e^{- 3 x}$ aus $- e^{- x}$ heraus.

$y = \frac{e^{- 3 x} (- e^{2 x})}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Schritt 7.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.1.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$y = \frac{e^{- 3 x} (- e^{2 x})}{e^{- 3 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Schritt 7.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{e^{- 3 x} (- e^{2 x})}{e^{- 3 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Schritt 7.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{- e^{2 x}}{1} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Schritt 7.3.1.2.4

Dividiere $- e^{2 x}$ durch $1$ .

$y = - e^{2 x} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$