Analysis Beispiele

$\frac{d V}{d t} = 4 \cos (2 t)$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d V = 4 \cos (2 t) d t$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d V = \int 4 \cos (2 t) d t$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$V + C_{1} = \int 4 \cos (2 t) d t$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$V + C_{1} = 4 \int \cos (2 t) d t$

Schritt 2.3.2

Sei $u = 2 t$ . Dann ist $d u = 2 d t$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1

Es sei $u = 2 t$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1.1

Differenziere $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Schritt 2.3.2.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2 t$ nach $t$ gleich $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 2.3.2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 2.3.2.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 2.3.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$V + C_{1} = 4 \int \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.3.3

Kombiniere $\cos (u)$ und $\frac{1}{2}$ .

$V + C_{1} = 4 \int \frac{\cos (u)}{2} d u$

Schritt 2.3.4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$V + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$V + C_{1} = \frac{4}{2} \int \cos (u) d u$

Schritt 2.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$V + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2} \int \cos (u) d u$

Schritt 2.3.5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.5.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$V + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int \cos (u) d u$

Schritt 2.3.5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$V + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int \cos (u) d u$

Schritt 2.3.5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$V + C_{1} = \frac{2}{1} \int \cos (u) d u$

Schritt 2.3.5.2.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$V + C_{1} = 2 \int \cos (u) d u$

Schritt 2.3.6

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$V + C_{1} = 2 (\sin (u) + C_{2})$

Schritt 2.3.7

Vereinfache.

$V + C_{1} = 2 \sin (u) + C_{2}$

Schritt 2.3.8

Ersetze alle $u$ durch $2 t$ .

$V + C_{1} = 2 \sin (2 t) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$V = 2 \sin (2 t) + K$