Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = e^{3 x} \cdot e^{2 y}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{e^{2 y}}$ .

$\frac{1}{e^{2 y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{2 y}} (e^{3 x} \cdot e^{2 y})$

Schritt 1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{2 y}$ .

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Schritt 1.2.1.1

Faktorisiere $e^{2 y}$ aus $e^{3 x} \cdot e^{2 y}$ heraus.

$\frac{1}{e^{2 y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{2 y}} (e^{2 y} (e^{3 x - 2 y} \cdot e^{2 y}))$

Schritt 1.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{e^{2 y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{2 y}} (e^{2 y} (e^{3 x - 2 y} \cdot e^{2 y}))$

Schritt 1.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{e^{2 y}} \frac{d y}{d x} = e^{3 x - 2 y} \cdot e^{2 y}$

Schritt 1.2.2

Multipliziere $e^{3 x - 2 y}$ mit $e^{2 y}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{e^{2 y}} \frac{d y}{d x} = e^{3 x - 2 y + 2 y}$

Schritt 1.2.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $3 x - 2 y + 2 y$ .

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Schritt 1.2.2.2.1

Addiere $- 2 y$ und $2 y$ .

$\frac{1}{e^{2 y}} \frac{d y}{d x} = e^{3 x + 0}$

Schritt 1.2.2.2.2

Addiere $3 x$ und $0$ .

$\frac{1}{e^{2 y}} \frac{d y}{d x} = e^{3 x}$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{e^{2 y}} d y = e^{3 x} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{e^{2 y}} d y = \int e^{3 x} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.1.1

Kehre das Vorzeichen des Exponenten von $e^{2 y}$ um und ziehe es aus dem Nenner heraus.

$\int 1 {(e^{2 y})}^{- 1} d y = \int e^{3 x} d x$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{2 y})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.1.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{2 y \cdot - 1} d y = \int e^{3 x} d x$

Schritt 2.2.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\int 1 e^{- 2 y} d y = \int e^{3 x} d x$

Schritt 2.2.1.2.2

Mutltipliziere $e^{- 2 y}$ mit $1$ .

$\int e^{- 2 y} d y = \int e^{3 x} d x$

Schritt 2.2.2

Sei $u_{1} = - 2 y$ . Dann ist $d u_{1} = - 2 d y$ , folglich $- \frac{1}{2} d u_{1} = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Es sei $u_{1} = - 2 y$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Differenziere $- 2 y$ .

$\frac{d}{d y} [- 2 y]$

Schritt 2.2.2.1.2

Da $- 2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 2 y$ nach $y$ gleich $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$- 2 \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.2.2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Schritt 2.2.2.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 2$

Schritt 2.2.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{- 2} d u_{1} = \int e^{3 x} d x$

Schritt 2.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int e^{u_{1}} (- \frac{1}{2}) d u_{1} = \int e^{3 x} d x$

Schritt 2.2.3.2

Kombiniere $e^{u_{1}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} = \int e^{3 x} d x$

Schritt 2.2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} = \int e^{3 x} d x$

Schritt 2.2.5

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$- (\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1}) = \int e^{3 x} d x$

Schritt 2.2.6

Das Integral von $e^{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $e^{u_{1}}$ .

$- \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{1}) = \int e^{3 x} d x$

Schritt 2.2.7

Vereinfache.

$- \frac{1}{2} e^{u_{1}} + C_{1} = \int e^{3 x} d x$

Schritt 2.2.8

Ersetze alle $u_{1}$ durch $- 2 y$ .

$- \frac{1}{2} e^{- 2 y} + C_{1} = \int e^{3 x} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Sei $u_{2} = 3 x$ . Dann ist $d u_{2} = 3 d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u_{2} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Es sei $u_{2} = 3 x$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Differenziere $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 2.3.1.1.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Schritt 2.3.1.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$- \frac{1}{2} e^{- 2 y} + C_{1} = \int e^{u_{2}} \frac{1}{3} d u_{2}$

Schritt 2.3.2

Kombiniere $e^{u_{2}}$ und $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{2} e^{- 2 y} + C_{1} = \int \frac{e^{u_{2}}}{3} d u_{2}$

Schritt 2.3.3

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{2} e^{- 2 y} + C_{1} = \frac{1}{3} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.4

Das Integral von $e^{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $e^{u_{2}}$ .

$- \frac{1}{2} e^{- 2 y} + C_{1} = \frac{1}{3} (e^{u_{2}} + C_{2})$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

$- \frac{1}{2} e^{- 2 y} + C_{1} = \frac{1}{3} e^{u_{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.6

Ersetze alle $u_{2}$ durch $3 x$ .

$- \frac{1}{2} e^{- 2 y} + C_{1} = \frac{1}{3} e^{3 x} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$- \frac{1}{2} e^{- 2 y} = \frac{1}{3} e^{3 x} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- 2$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} e^{- 2 y}) = - 2 (\frac{1}{3} e^{3 x} + K)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $- 2 (- \frac{1}{2} e^{- 2 y})$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $e^{- 2 y}$ und $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{e^{- 2 y}}{2}) = - 2 (\frac{1}{3} e^{3 x} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{e^{- 2 y}}{2}$ in den Zähler.

$- 2 \frac{- e^{- 2 y}}{2} = - 2 (\frac{1}{3} e^{3 x} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$2 (- 1) \frac{- e^{- 2 y}}{2} = - 2 (\frac{1}{3} e^{3 x} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot - 1 \frac{- e^{- 2 y}}{2} = - 2 (\frac{1}{3} e^{3 x} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$- - e^{- 2 y} = - 2 (\frac{1}{3} e^{3 x} + K)$

Schritt 3.2.1.1.3

Multipliziere.

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Schritt 3.2.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 e^{- 2 y} = - 2 (\frac{1}{3} e^{3 x} + K)$

Schritt 3.2.1.1.3.2

Mutltipliziere $e^{- 2 y}$ mit $1$ .

$e^{- 2 y} = - 2 (\frac{1}{3} e^{3 x} + K)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $- 2 (\frac{1}{3} e^{3 x} + K)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $e^{3 x}$ .

$e^{- 2 y} = - 2 (\frac{e^{3 x}}{3} + K)$

Schritt 3.2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{- 2 y} = - 2 \frac{e^{3 x}}{3} - 2 K$

Schritt 3.2.2.1.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{e^{3 x}}{3}$ .

$e^{- 2 y} = \frac{- 2 e^{3 x}}{3} - 2 K$

Schritt 3.2.2.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e^{- 2 y} = - \frac{2 e^{3 x}}{3} - 2 K$

Schritt 3.3

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{- 2 y}) = \ln (- \frac{2 e^{3 x}}{3} - 2 K)$

Schritt 3.4

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 3.4.1

Zerlege $\ln (e^{- 2 y})$ durch Herausziehen von $- 2 y$ aus dem Logarithmus.

$- 2 y \ln (e) = \ln (- \frac{2 e^{3 x}}{3} - 2 K)$

Schritt 3.4.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$- 2 y \cdot 1 = \ln (- \frac{2 e^{3 x}}{3} - 2 K)$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 2 y = \ln (- \frac{2 e^{3 x}}{3} - 2 K)$

Schritt 3.5

Teile jeden Ausdruck in $- 2 y = \ln (- \frac{2 e^{3 x}}{3} - 2 K)$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 y = \ln (- \frac{2 e^{3 x}}{3} - 2 K)$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{\ln (- \frac{2 e^{3 x}}{3} - 2 K)}{- 2}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 3.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{\ln (- \frac{2 e^{3 x}}{3} - 2 K)}{- 2}$

Schritt 3.5.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\ln (- \frac{2 e^{3 x}}{3} - 2 K)}{- 2}$

Schritt 3.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{\ln (- \frac{2 e^{3 x}}{3} - 2 K)}{2}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = - \frac{\ln (- \frac{2 e^{3 x}}{3} + K)}{2}$