Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{1 - y}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $1 - y$ .

$(1 - y) \frac{d y}{d x} = (1 - y) \frac{x^{2}}{1 - y}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - y$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(1 - y) \frac{d y}{d x} = (1 - y) \frac{x^{2}}{1 - y}$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$(1 - y) \frac{d y}{d x} = x^{2}$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$(1 - y) d y = x^{2} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int 1 - y d y = \int x^{2} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int d y + \int - y d y = \int x^{2} d x$

Schritt 2.2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} + \int - y d y = \int x^{2} d x$

Schritt 2.2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y + C_{1} - \int y d y = \int x^{2} d x$

Schritt 2.2.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$y + C_{1} - (\frac{1}{2} y^{2} + C_{2}) = \int x^{2} d x$

Schritt 2.2.5

Vereinfache.

$y - \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int x^{2} d x$

Schritt 2.2.6

Stelle die Terme um.

$- \frac{1}{2} y^{2} + y + C_{3} = \int x^{2} d x$

Schritt 2.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- \frac{1}{2} y^{2} + y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$- \frac{1}{2} y^{2} + y = \frac{1}{3} x^{3} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Kombiniere $y^{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{y^{2}}{2} + y = \frac{1}{3} x^{3} + K$

Schritt 3.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$- \frac{y^{2}}{2} + y = \frac{x^{3}}{3} + K$

Schritt 3.3

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Subtrahiere $\frac{x^{3}}{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{y^{2}}{2} + y - \frac{x^{3}}{3} = K$

Schritt 3.3.2

Subtrahiere $K$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{y^{2}}{2} + y - \frac{x^{3}}{3} - K = 0$

Schritt 3.4

Multipliziere mit dem Hauptnenner $6$ aus und vereinfache dann.

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Schritt 3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$6 (- \frac{y^{2}}{2}) + 6 y + 6 (- \frac{x^{3}}{3}) + 6 (- K) = 0$

Schritt 3.4.2

Vereinfache.

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Schritt 3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{y^{2}}{2}$ in den Zähler.

$6 (\frac{- y^{2}}{2}) + 6 y + 6 (- \frac{x^{3}}{3}) + 6 (- K) = 0$

Schritt 3.4.2.1.2

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$2 (3) (\frac{- y^{2}}{2}) + 6 y + 6 (- \frac{x^{3}}{3}) + 6 (- K) = 0$

Schritt 3.4.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot (3 (\frac{- y^{2}}{2})) + 6 y + 6 (- \frac{x^{3}}{3}) + 6 (- K) = 0$

Schritt 3.4.2.1.4

Forme den Ausdruck um.

$3 (- y^{2}) + 6 y + 6 (- \frac{x^{3}}{3}) + 6 (- K) = 0$

Schritt 3.4.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 3 y^{2} + 6 y + 6 (- \frac{x^{3}}{3}) + 6 (- K) = 0$

Schritt 3.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.4.2.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x^{3}}{3}$ in den Zähler.

$- 3 y^{2} + 6 y + 6 (\frac{- x^{3}}{3}) + 6 (- K) = 0$

Schritt 3.4.2.3.2

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$- 3 y^{2} + 6 y + 3 (2) (\frac{- x^{3}}{3}) + 6 (- K) = 0$

Schritt 3.4.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 3 y^{2} + 6 y + 3 \cdot (2 (\frac{- x^{3}}{3})) + 6 (- K) = 0$

Schritt 3.4.2.3.4

Forme den Ausdruck um.

$- 3 y^{2} + 6 y + 2 (- x^{3}) + 6 (- K) = 0$

Schritt 3.4.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 3 y^{2} + 6 y - 2 x^{3} + 6 (- K) = 0$

Schritt 3.4.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$- 3 y^{2} + 6 y - 2 x^{3} - 6 K = 0$

Schritt 3.4.3

Bewege $6 y$ .

$- 3 y^{2} - 2 x^{3} - 6 K + 6 y = 0$

Schritt 3.4.4

Stelle $- 3 y^{2}$ und $- 2 x^{3}$ um.

$- 2 x^{3} - 3 y^{2} - 6 K + 6 y = 0$

Schritt 3.5

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.6

Setze die Werte $a = - 3$ , $b = 6$ und $c = - 2 x^{3} - 6 K$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 3 \cdot (- 2 x^{3} - 6 K))}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 3.7

Vereinfache.

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Schritt 3.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.7.1.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{3} - 6 K)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 3.7.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 3$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 12 \cdot (- 2 x^{3} - 6 K)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 3.7.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 12 (- 2 x^{3}) + 12 (- 6 K)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 3.7.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $12$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 24 x^{3} + 12 (- 6 K)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 3.7.1.5

Mutltipliziere $- 6$ mit $12$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 24 x^{3} - 72 K}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 3.7.1.6

Faktorisiere $12$ aus $36 - 24 x^{3} - 72 K$ heraus.

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Schritt 3.7.1.6.1

Faktorisiere $12$ aus $36$ heraus.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3) - 24 x^{3} - 72 K}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 3.7.1.6.2

Faktorisiere $12$ aus $- 24 x^{3}$ heraus.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3) + 12 (- 2 x^{3}) - 72 K}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 3.7.1.6.3

Faktorisiere $12$ aus $- 72 K$ heraus.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3) + 12 (- 2 x^{3}) + 12 (- 6 K)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 3.7.1.6.4

Faktorisiere $12$ aus $12 (3) + 12 (- 2 x^{3})$ heraus.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3 - 2 x^{3}) + 12 (- 6 K)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 3.7.1.6.5

Faktorisiere $12$ aus $12 (3 - 2 x^{3}) + 12 (- 6 K)$ heraus.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3 - 2 x^{3} - 6 K)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 3.7.1.7

Schreibe $12 (3 - 2 x^{3} - 6 K)$ als $2^{2} \cdot (3 (3 - 2 x^{3} - 6 K))$ um.

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Schritt 3.7.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (3) (3 - 2 x^{3} - 6 K)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 3.7.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (3 - 2 x^{3} - 6 K))}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 3.7.1.7.3

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (3 - 2 x^{3} - 6 K))}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 3.7.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3 (3 - 2 x^{3} - 6 K)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 3.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$y = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3 (3 - 2 x^{3} - 6 K)}}{- 6}$

Schritt 3.7.3

Vereinfache $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3 (3 - 2 x^{3} - 6 K)}}{- 6}$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3 - 2 x^{3} - 6 K)}}{3}$

Schritt 3.8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 - 2 x^{3} - 6 K)}}{3}$

$y = \frac{3 - \sqrt{3 (3 - 2 x^{3} - 6 K)}}{3}$

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 - 2 x^{3} - 6 K)}}{3}$

$y = \frac{3 - \sqrt{3 (3 - 2 x^{3} - 6 K)}}{3}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 - 2 x^{3} + K)}}{3}$

$y = \frac{3 - \sqrt{3 (3 - 2 x^{3} + K)}}{3}$