Analysis Beispiele

$(e^{x} + 2 x e^{- y}) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = e^{x} + 2 x e^{- y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{x} + 2 x e^{- y}]$

Schritt 1.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{x} + 2 x e^{- y}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [2 x e^{- y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [2 x e^{- y}]$

Schritt 1.2.2

Da $e^{x}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $e^{x}$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [2 x e^{- y}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [2 x e^{- y}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Da $2 x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 x e^{- y}$ nach $y$ gleich $2 x \frac{d}{d y} [e^{- y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x \frac{d}{d y} [e^{- y}]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = e^{y}$ und $g (y) = - y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [- y])$

Schritt 1.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (e^{u} \frac{d}{d y} [- y])$

Schritt 1.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $- y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (e^{- y} \frac{d}{d y} [- y])$

Schritt 1.3.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- y$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (e^{- y} (- \frac{d}{d y} [y]))$

Schritt 1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (e^{- y} (- 1 \cdot 1))$

Schritt 1.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (e^{- y} \cdot - 1)$

Schritt 1.3.6

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (- 1 \cdot e^{- y})$

Schritt 1.3.7

Schreibe $- 1 e^{- y}$ als $- e^{- y}$ um.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (- e^{- y})$

Schritt 1.3.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x e^{- y}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1

Subtrahiere $2 x e^{- y}$ von $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x e^{- y}$

Schritt 1.4.2

Stelle die Faktoren von $- 2 x e^{- y}$ um.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 e^{- y} x$

Schritt 1.4.3

Stelle die Faktoren in $- 2 e^{- y} x$ um.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x e^{- y}$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = e^{x} + e^{- y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- y}]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{x} + e^{- y}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- y}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- y}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- y}]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Da $e^{- y}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $e^{- y}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x} + 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $e^{x}$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x}$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Setze $- 2 x e^{- y}$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $e^{x}$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$- 2 x e^{- y} = e^{x}$

Schritt 3.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$- 2 x e^{- y} = e^{x}$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Schritt 4.2

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $- 2 x e^{- y}$ .

$\frac{e^{x} - (- 2 x e^{- y})}{M}$

Schritt 4.3

Ersetze $M$ durch $e^{x} + 2 x e^{- y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Ersetze $M$ durch $e^{x} + 2 x e^{- y}$ .

$\frac{e^{x} - (- 2 x e^{- y})}{e^{x} + 2 x e^{- y}}$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\frac{e^{x} + 2 x e^{- y}}{e^{x} + 2 x e^{- y}}$

Schritt 4.3.3

Ersetze $M$ durch $e^{x} + 2 x e^{- y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{x} + 2 x e^{- y}}{e^{x} + 2 x e^{- y}}$

Schritt 4.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$1$

Schritt 4.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int d y}$

Schritt 5

Berechne das Integral $e^{\int d y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Wende die Konstantenregel an.

$μ (x, y) = e^{y + C}$

Schritt 5.2

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{y} + C$

Schritt 6

Multipliziere beide Seiten von $(e^{x} + 2 x e^{- y}) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $e^{y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Mutltipliziere $e^{x} + 2 x e^{- y}$ mit $e^{y}$ .

$(e^{x} + 2 x e^{- y}) e^{y} d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(e^{x} e^{y} + 2 x e^{- y} e^{y}) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

Schritt 6.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(e^{x + y} + 2 x e^{- y} e^{y}) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

Schritt 6.4

Multipliziere $e^{- y}$ mit $e^{y}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.1

Bewege $e^{y}$ .

$(e^{x + y} + 2 x (e^{y} e^{- y})) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

Schritt 6.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(e^{x + y} + 2 x e^{y - y}) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

Schritt 6.4.3

Subtrahiere $y$ von $y$ .

$(e^{x + y} + 2 x e^{0}) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

Schritt 6.5

Vereinfache $2 x e^{0}$ .

$(e^{x + y} + 2 x) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

Schritt 6.6

Mutltipliziere $e^{x} + e^{- y}$ mit $e^{y}$ .

$(e^{x + y} + 2 x) d x + (e^{x} + e^{- y}) e^{y} d y = 0$

Schritt 6.7

Wende das Distributivgesetz an.

$(e^{x + y} + 2 x) d x + (e^{x} e^{y} + e^{- y} e^{y}) d y = 0$

Schritt 6.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(e^{x + y} + 2 x) d x + (e^{x + y} + e^{- y} e^{y}) d y = 0$

Schritt 6.9

Multipliziere $e^{- y}$ mit $e^{y}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.9.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(e^{x + y} + 2 x) d x + (e^{x + y} + e^{- y + y}) d y = 0$

Schritt 6.9.2

Addiere $- y$ und $y$ .

$(e^{x + y} + 2 x) d x + (e^{x + y} + e^{0}) d y = 0$

Schritt 6.10

Vereinfache $e^{0}$ .

$(e^{x + y} + 2 x) d x + (e^{x + y} + 1) d y = 0$

Schritt 7

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{x + y} + 1 d y$

Schritt 8

Integriere $N (x, y) = e^{x + y} + 1$ , um $f (x, y)$ zu finden.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$f (x, y) = \int e^{x + y} d y + \int d y$

Schritt 8.2

Sei $u = x + y$ . Dann ist $d u = d y$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1

Es sei $u = x + y$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1.1

Differenziere $x + y$ .

$\frac{d}{d y} [x + y]$

Schritt 8.2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 8.2.1.3

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 8.2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 1$

Schritt 8.2.1.5

Addiere $0$ und $1$ .

$1$

Schritt 8.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$f (x, y) = \int e^{u} d u + \int d y$

Schritt 8.3

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$f (x, y) = e^{u} + C + \int d y$

Schritt 8.4

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = e^{u} + C + y + C$

Schritt 8.5

Vereinfache.

$f (x, y) = e^{u} + y + C$

Schritt 8.6

Ersetze alle $u$ durch $x + y$ .

$f (x, y) = e^{x + y} + y + C$

Schritt 9

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = e^{x + y} + y + g (x)$

Schritt 10

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = e^{x + y} + 2 x$

Schritt 11

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x + y} + y + g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

Schritt 11.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{x + y} + y + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{x + y}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x + y}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

Schritt 11.3

Berechne $\frac{d}{d x} [e^{x + y}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x + y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

Schritt 11.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

Schritt 11.3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x + y$ .

$e^{x + y} \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

Schritt 11.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$e^{x + y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

Schritt 11.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{x + y} (1 + \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

Schritt 11.3.4

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$e^{x + y} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

Schritt 11.3.5

Addiere $1$ und $0$ .

$e^{x + y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

Schritt 11.3.6

Mutltipliziere $e^{x + y}$ mit $1$ .

$e^{x + y} + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

Schritt 11.4

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$e^{x + y} + 0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

Schritt 11.5

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$e^{x + y} + 0 + \frac{d g}{d x} = e^{x + y} + 2 x$

Schritt 11.6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.6.1

Addiere $e^{x + y}$ und $0$ .

$e^{x + y} + \frac{d g}{d x} = e^{x + y} + 2 x$

Schritt 11.6.2

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} + e^{x + y} = e^{x + y} + 2 x$

Schritt 12

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1.1

Subtrahiere $e^{x + y}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} = e^{x + y} + 2 x - e^{x + y}$

Schritt 12.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $e^{x + y} + 2 x - e^{x + y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1.2.1

Subtrahiere $e^{x + y}$ von $e^{x + y}$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x + 0$

Schritt 12.1.2.2

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x$

Schritt 13

Bestimme die Stammfunktion von $2 x$ , um $g (x)$ zu finden.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = 2 x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 x d x$

Schritt 13.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 2 x d x$

Schritt 13.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$g (x) = 2 \int x d x$

Schritt 13.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 13.5

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.5.1

Schreibe $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ als $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ um.

$g (x) = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Schritt 13.5.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.5.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Schritt 13.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$g (x) = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Schritt 13.5.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$g (x) = 1 x^{2} + C$

Schritt 13.5.2.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$g (x) = x^{2} + C$

Schritt 14

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = e^{x + y} + y + g (x)$ ein.

$f (x, y) = e^{x + y} + y + x^{2} + C$