Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{3} + x - 1$ , $f (0) = - 3$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = (x^{4} - x^{3} + x - 1) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int x^{4} - x^{3} + x - 1 d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int x^{4} - x^{3} + x - 1 d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{1} = \int x^{4} d x + \int - x^{3} d x + \int x d x + \int - 1 d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} + C_{2} + \int - x^{3} d x + \int x d x + \int - 1 d x$

Schritt 2.3.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} + C_{2} - \int x^{3} d x + \int x d x + \int - 1 d x$

Schritt 2.3.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} + C_{2} - (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) + \int x d x + \int - 1 d x$

Schritt 2.3.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} + C_{2} - (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \int - 1 d x$

Schritt 2.3.6

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} + C_{2} - (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \int - 1 d x$

Schritt 2.3.7

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} + C_{2} - (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - x + C_{5}$

Schritt 2.3.8

Vereinfache.

$y + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} x^{2} - x + C_{6}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} x^{2} - x + K$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $0$ für $x$ und $- 3$ für $y$ in $y = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} x^{2} - x + K$ ersetzt wird.

$- 3 = \frac{1}{5} \cdot 0^{5} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0 + K$

Schritt 4

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1}{5} \cdot 0^{5} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0 + K = - 3$ um.

$\frac{1}{5} \cdot 0^{5} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0 + K = - 3$

Schritt 4.2

Vereinfache $\frac{1}{5} \cdot 0^{5} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0 + K$ .

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot 0 - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0 + K = - 3$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $0$ .

$0 - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0 + K = - 3$

Schritt 4.2.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 - \frac{1}{4} \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0 + K = - 3$

Schritt 4.2.1.4

Multipliziere $- \frac{1}{4} \cdot 0$ .

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Schritt 4.2.1.4.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$0 + 0 (\frac{1}{4}) + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0 + K = - 3$

Schritt 4.2.1.4.2

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{1}{4}$ .

$0 + 0 + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0 + K = - 3$

Schritt 4.2.1.5

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 + 0 + \frac{1}{2} \cdot 0 - 0 + K = - 3$

Schritt 4.2.1.6

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $0$ .

$0 + 0 + 0 - 0 + K = - 3$

Schritt 4.2.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$0 + 0 + 0 + 0 + K = - 3$

Schritt 4.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $0 + 0 + 0 + 0 + K$ .

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Schritt 4.2.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$0 + 0 + 0 + K = - 3$

Schritt 4.2.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$0 + 0 + K = - 3$

Schritt 4.2.2.3

Addiere $0$ und $0$ .

$0 + K = - 3$

Schritt 4.2.2.4

Addiere $0$ und $K$ .

$K = - 3$

Schritt 5

Setze $- 3$ für $K$ in $y = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} x^{2} - x + K$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.1

Ersetze $K$ durch $- 3$ .

$y = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} x^{2} - x - 3$

Schritt 5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $x^{5}$ .

$y = \frac{x^{5}}{5} - \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} x^{2} - x - 3$

Schritt 5.2.2

Kombiniere $x^{4}$ und $\frac{1}{4}$ .

$y = \frac{x^{5}}{5} - \frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{2} x^{2} - x - 3$

Schritt 5.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{5}}{5} - \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{2}}{2} - x - 3$