Analysis Beispiele

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \sqrt{2 x - 1}$

Schritt 1

Integriere beide Seiten nach $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Die erste Ableitung ist gleich dem Integral der zweiten Ableitung nach $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \int \sqrt{2 x - 1} d x$

Schritt 1.2

Sei $u_{1} = 2 x - 1$ . Dann ist $d u_{1} = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Es sei $u_{1} = 2 x - 1$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1.1

Differenziere $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Schritt 1.2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.2.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 + 0$

Schritt 1.2.1.4.2

Addiere $2$ und $0$ .

$2$

Schritt 1.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\frac{d y}{d x} = \int \sqrt{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 1.3

Kombiniere $\sqrt{u_{1}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \int \frac{\sqrt{u_{1}}}{2} d u_{1}$

Schritt 1.4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \int \sqrt{u_{1}} d u_{1}$

Schritt 1.5

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u_{1}}$ als ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \int {u_{1}}^{\frac{1}{2}} d u_{1}$

Schritt 1.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ nach $u_{1}$ gleich $\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C_{1})$

Schritt 1.7

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.7.1

Schreibe $\frac{1}{2} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C_{1})$ als $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C_{1}$ um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C_{1}$

Schritt 1.7.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.7.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{2}{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{2 \cdot 3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C_{1}$

Schritt 1.7.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{6} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C_{1}$

Schritt 1.7.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.7.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (1)}{6} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C_{1}$

Schritt 1.7.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.7.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C_{1}$

Schritt 1.7.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C_{1}$

Schritt 1.7.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C_{1}$

Schritt 1.8

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 x - 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{3} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + C_{1}$

Schritt 2

Schreibe die Gleichung um.

$d y = (\frac{1}{3} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + C_{1}) d x$

Schritt 3

Integriere beide Seiten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int \frac{1}{3} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + C_{1} d x$

Schritt 3.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{2} = \int \frac{1}{3} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + C_{1} d x$

Schritt 3.3

Integriere die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{2} = \int \frac{1}{3} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} d x + \int C_{1} d x$

Schritt 3.3.2

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$y + C_{2} = \frac{1}{3} \int {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} d x + \int C_{1} d x$

Schritt 3.3.3

Sei $u_{2} = 2 x - 1$ . Dann ist $d u_{2} = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.1

Es sei $u_{2} = 2 x - 1$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.1.1

Differenziere $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Schritt 3.3.3.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 3.3.3.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 3.3.3.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 3.3.3.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 3.3.3.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.1.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 + 0$

Schritt 3.3.3.1.4.2

Addiere $2$ und $0$ .

$2$

Schritt 3.3.3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$y + C_{2} = \frac{1}{3} \int {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} d u_{2} + \int C_{1} d x$

Schritt 3.3.4

Kombiniere ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{2} = \frac{1}{3} \int \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{2} d u_{2} + \int C_{1} d x$

Schritt 3.3.5

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$y + C_{2} = \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{3}{2}} d u_{2}) + \int C_{1} d x$

Schritt 3.3.6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.6.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{2} = \frac{1}{2 \cdot 3} \int {u_{2}}^{\frac{3}{2}} d u_{2} + \int C_{1} d x$

Schritt 3.3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$y + C_{2} = \frac{1}{6} \int {u_{2}}^{\frac{3}{2}} d u_{2} + \int C_{1} d x$

Schritt 3.3.7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ nach $u_{2}$ gleich $\frac{2}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{2}}$ .

$y + C_{2} = \frac{1}{6} (\frac{2}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{2}} + C_{3}) + \int C_{1} d x$

Schritt 3.3.8

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{2} = \frac{1}{6} (\frac{2}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{2}} + C_{3}) + C_{1} x + C_{4}$

Schritt 3.3.9

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.9.1

Vereinfache.

$y + C_{2} = \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{2}} + C_{1} x + C_{5}$

Schritt 3.3.9.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.9.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{6}$ mit $\frac{2}{5}$ .

$y + C_{2} = \frac{2}{6 \cdot 5} {u_{2}}^{\frac{5}{2}} + C_{1} x + C_{5}$

Schritt 3.3.9.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $5$ .

$y + C_{2} = \frac{2}{30} {u_{2}}^{\frac{5}{2}} + C_{1} x + C_{5}$

Schritt 3.3.9.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $30$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.9.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$y + C_{2} = \frac{2 (1)}{30} {u_{2}}^{\frac{5}{2}} + C_{1} x + C_{5}$

Schritt 3.3.9.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.9.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $30$ heraus.

$y + C_{2} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 15} {u_{2}}^{\frac{5}{2}} + C_{1} x + C_{5}$

Schritt 3.3.9.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + C_{2} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 15} {u_{2}}^{\frac{5}{2}} + C_{1} x + C_{5}$

Schritt 3.3.9.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y + C_{2} = \frac{1}{15} {u_{2}}^{\frac{5}{2}} + C_{1} x + C_{5}$

Schritt 3.3.10

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 x - 1$ .

$y + C_{2} = \frac{1}{15} {(2 x - 1)}^{\frac{5}{2}} + C_{1} x + C_{5}$

Schritt 3.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $D$ zusammen.

$y = \frac{1}{15} {(2 x - 1)}^{\frac{5}{2}} + C x + D$