Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{x f (x) - 16 (f x)}{x^{17}}$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y - 16 (f x)}{x^{17}}$

Schritt 2

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ um.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ um.

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Schritt 2.1.1

Zerlege den Bruch $\frac{x y - 16 (f x)}{x^{17}}$ in zwei Brüche.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{x^{17}} + \frac{- 16 (f x)}{x^{17}}$

Schritt 2.1.2

Subtrahiere $\frac{x y}{x^{17}}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d x} - \frac{x y}{x^{17}} = \frac{- 16 (f x)}{x^{17}}$

Schritt 2.2

Schreibe die Gleichung mit isolierten Koeffizienten um.

$\frac{d y}{d x} - \frac{x y}{x^{17}} = \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

Schritt 2.3

Faktorisiere $y$ aus $- \frac{x y}{x^{17}}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{x}{x^{17}}) = \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

Schritt 2.4

Stelle $y$ und $- \frac{x}{x^{17}}$ um.

$\frac{d y}{d x} - \frac{x}{x^{17}} y = \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

Schritt 3

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = - \frac{x}{x^{17}}$ gilt.

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Schritt 3.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int - \frac{x}{x^{17}} d x}$

Schritt 3.2

Integriere $- \frac{x}{x^{17}}$ .

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{17}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$e^{\int - \frac{x^{1}}{x^{17}} d x}$

Schritt 3.2.1.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$e^{\int - \frac{x \cdot 1}{x^{17}} d x}$

Schritt 3.2.1.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.1.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{17}$ heraus.

$e^{\int - \frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{16}} d x}$

Schritt 3.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{\int - \frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{16}} d x}$

Schritt 3.2.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$e^{\int - \frac{1}{x^{16}} d x}$

Schritt 3.2.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- \int \frac{1}{x^{16}} d x}$

Schritt 3.2.3

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 3.2.3.1

Bringe $x^{16}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$e^{- \int {(x^{16})}^{- 1} d x}$

Schritt 3.2.3.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{16})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.2.3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{- \int x^{16 \cdot - 1} d x}$

Schritt 3.2.3.2.2

Mutltipliziere $16$ mit $- 1$ .

$e^{- \int x^{- 16} d x}$

Schritt 3.2.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 16}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{15} x^{- 15}$ .

$e^{- (- \frac{1}{15} x^{- 15} + C)}$

Schritt 3.2.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.2.5.1

Vereinfache.

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Schritt 3.2.5.1.1

Kombiniere $x^{- 15}$ und $\frac{1}{15}$ .

$e^{- (- \frac{x^{- 15}}{15} + C)}$

Schritt 3.2.5.1.2

Bringe $x^{- 15}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{- (- \frac{1}{15 x^{15}} + C)}$

Schritt 3.2.5.2

Vereinfache.

$e^{- - \frac{1}{15 x^{15}} + C}$

Schritt 3.2.5.3

Vereinfache.

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Schritt 3.2.5.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e^{1 \frac{1}{15 x^{15}} + C}$

Schritt 3.2.5.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{15 x^{15}}$ mit $1$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}} + C}$

Schritt 3.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$

Schritt 4

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$ .

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Schritt 4.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{1}{15 x^{15}}} (- \frac{x}{x^{17}} y) = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

Schritt 4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - e^{\frac{1}{15 x^{15}}} (\frac{x}{x^{17}} y) = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

Schritt 4.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{17}$ .

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Schritt 4.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - e^{\frac{1}{15 x^{15}}} (\frac{x^{1}}{x^{17}} y) = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

Schritt 4.2.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - e^{\frac{1}{15 x^{15}}} (\frac{x \cdot 1}{x^{17}} y) = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

Schritt 4.2.2.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.2.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{17}$ heraus.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - e^{\frac{1}{15 x^{15}}} (\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{16}} y) = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

Schritt 4.2.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - e^{\frac{1}{15 x^{15}}} (\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{16}} y) = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

Schritt 4.2.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - e^{\frac{1}{15 x^{15}}} (\frac{1}{x^{16}} y) = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

Schritt 4.2.3

Kombiniere $\frac{1}{x^{16}}$ und $y$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{y}{x^{16}} = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

Schritt 4.2.4

Kombiniere $\frac{y}{x^{16}}$ und $e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - \frac{y e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

Schritt 4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{17}$ .

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Schritt 4.3.1

Faktorisiere $x$ aus $- 16 f x$ heraus.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - \frac{y e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{x (- 16 f)}{x^{17}}$

Schritt 4.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{17}$ heraus.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - \frac{y e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{x (- 16 f)}{x \cdot x^{16}}$

Schritt 4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - \frac{y e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{x (- 16 f)}{x \cdot x^{16}}$

Schritt 4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - \frac{y e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f}{x^{16}}$

Schritt 4.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - \frac{y e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} (- \frac{16 f}{x^{16}})$

Schritt 4.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - \frac{y e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} = - e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{16 f}{x^{16}}$

Schritt 4.6

Kombiniere $\frac{16 f}{x^{16}}$ und $e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - \frac{y e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} = - \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}}$

Schritt 5

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y] = - \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}}$

Schritt 6

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y] d x = \int - \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} d x$

Schritt 7

Integriere die linke Seite.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = \int - \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} d x$

Schritt 8

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 8.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = - \int \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} d x$

Schritt 8.2

Da $16 f$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $16 f$ aus dem Integral.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = - (16 f \int \frac{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} d x)$

Schritt 8.3

Mutltipliziere $16$ mit $- 1$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = - 16 f \int \frac{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} d x$

Schritt 8.4

Sei $u = \frac{1}{15 x^{15}}$ . Dann ist $d u = - \frac{1}{x^{16}} d x$ , folglich $- d u = \frac{1}{x^{16}} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 8.4.1

Es sei $u = \frac{1}{15 x^{15}}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 8.4.1.1

Differenziere $\frac{1}{15 x^{15}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{15 x^{15}}]$

Schritt 8.4.1.2

Da $\frac{1}{15}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{15 x^{15}}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{15} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{15}}]$ .

$\frac{1}{15} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{15}}]$

Schritt 8.4.1.3

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 8.4.1.3.1

Schreibe $\frac{1}{x^{15}}$ als ${(x^{15})}^{- 1}$ um.

$\frac{1}{15} \frac{d}{d x} [{(x^{15})}^{- 1}]$

Schritt 8.4.1.3.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{15})}^{- 1}$ .

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Schritt 8.4.1.3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{15} \frac{d}{d x} [x^{15 \cdot - 1}]$

Schritt 8.4.1.3.2.2

Mutltipliziere $15$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{15} \frac{d}{d x} [x^{- 15}]$

Schritt 8.4.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 15$ .

$\frac{1}{15} (- 15 x^{- 16})$

Schritt 8.4.1.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 8.4.1.5.1

Kombiniere $- 15$ und $\frac{1}{15}$ .

$\frac{- 15}{15} x^{- 16}$

Schritt 8.4.1.5.2

Kombiniere $\frac{- 15}{15}$ und $x^{- 16}$ .

$\frac{- 15 x^{- 16}}{15}$

Schritt 8.4.1.5.3

Bringe $x^{- 16}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 15}{15 x^{16}}$

Schritt 8.4.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 15$ und $15$ .

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Schritt 8.4.1.5.4.1

Faktorisiere $15$ aus $- 15$ heraus.

$\frac{15 \cdot - 1}{15 x^{16}}$

Schritt 8.4.1.5.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.4.1.5.4.2.1

Faktorisiere $15$ aus $15 x^{16}$ heraus.

$\frac{15 \cdot - 1}{15 (x^{16})}$

Schritt 8.4.1.5.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{15 \cdot - 1}{15 x^{16}}$

Schritt 8.4.1.5.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{x^{16}}$

Schritt 8.4.1.5.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{x^{16}}$

Schritt 8.4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = - 16 f \int - e^{u} d u$

Schritt 8.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = - 16 f (- \int e^{u} d u)$

Schritt 8.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 16$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = 16 f \int e^{u} d u$

Schritt 8.7

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = 16 f (e^{u} + C)$

Schritt 8.8

Vereinfache.

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = 16 f e^{u} + C$

Schritt 8.9

Ersetze alle $u$ durch $\frac{1}{15 x^{15}}$ .

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = 16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}} + C$

Schritt 9

Teile jeden Ausdruck in $e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = 16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}} + C$ durch $e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$ und vereinfache.

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Schritt 9.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = 16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}} + C$ durch $e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$ .

$\frac{e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}} = \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}} + \frac{C}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}$

Schritt 9.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$ .

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Schritt 9.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}} = \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}} + \frac{C}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}$

Schritt 9.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}} + \frac{C}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}$

Schritt 9.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$ .

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Schritt 9.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}} + \frac{C}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}$

Schritt 9.3.1.2

Dividiere $16 f$ durch $1$ .

$y = 16 f + \frac{C}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}$