Analysis Beispiele

$4 x^{2} + 5 y \frac{d y}{d x} = 0$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Löse nach $\frac{d y}{d x}$ auf.

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Schritt 1.1.1

Subtrahiere $4 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 y \frac{d y}{d x} = - 4 x^{2}$

Schritt 1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $5 y \frac{d y}{d x} = - 4 x^{2}$ durch $5 y$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 y \frac{d y}{d x} = - 4 x^{2}$ durch $5 y$ .

$\frac{5 y \frac{d y}{d x}}{5 y} = \frac{- 4 x^{2}}{5 y}$

Schritt 1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 1.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 y \frac{d y}{d x}}{5 y} = \frac{- 4 x^{2}}{5 y}$

Schritt 1.1.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- 4 x^{2}}{5 y}$

Schritt 1.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.1.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- 4 x^{2}}{5 y}$

Schritt 1.1.2.2.2.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 4 x^{2}}{5 y}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x^{2}}{5 y}$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten mit $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (- \frac{4 x^{2}}{5 y})$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y \frac{d y}{d x} = - y \frac{4 x^{2}}{5 y}$

Schritt 1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.3.2.1

Faktorisiere $y$ aus $- y$ heraus.

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{4 x^{2}}{5 y}$

Schritt 1.3.2.2

Faktorisiere $y$ aus $5 y$ heraus.

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{4 x^{2}}{y \cdot 5}$

Schritt 1.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{4 x^{2}}{y \cdot 5}$

Schritt 1.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$y \frac{d y}{d x} = - \frac{4 x^{2}}{5}$

Schritt 1.4

Schreibe die Gleichung um.

$y d y = - \frac{4 x^{2}}{5} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int y d y = \int - \frac{4 x^{2}}{5} d x$

Schritt 2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - \frac{4 x^{2}}{5} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \frac{4 x^{2}}{5} d x$

Schritt 2.3.2

Da $\frac{4}{5}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{4}{5}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{4}{5} \int x^{2} d x)$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{4}{5} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

Schritt 2.3.4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.3.4.1

Schreibe $- \frac{4}{5} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ als $- \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$ um.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

Schritt 2.3.4.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.4.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{4}{5}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{4}{3 \cdot 5} x^{3} + C_{2}$

Schritt 2.3.4.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{4}{15} x^{3} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{4}{15} x^{3} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{4}{15} x^{3} + K)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{4}{15} x^{3} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{4}{15} x^{3} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = 2 (- \frac{4}{15} x^{3} + K)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $2 (- \frac{4}{15} x^{3} + K)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.1.1.1

Kombiniere $x^{3}$ und $\frac{4}{15}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{3} \cdot 4}{15} + K)$

Schritt 3.2.2.1.1.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x^{3}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{4 x^{3}}{15} + K)$

Schritt 3.2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} = 2 (- \frac{4 x^{3}}{15}) + 2 K$

Schritt 3.2.2.1.3

Multipliziere $2 (- \frac{4 x^{3}}{15})$ .

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Schritt 3.2.2.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$y^{2} = - 2 \frac{4 x^{3}}{15} + 2 K$

Schritt 3.2.2.1.3.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{4 x^{3}}{15}$ .

$y^{2} = \frac{- 2 (4 x^{3})}{15} + 2 K$

Schritt 3.2.2.1.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$y^{2} = \frac{- 8 x^{3}}{15} + 2 K$

Schritt 3.2.2.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y^{2} = - \frac{8 x^{3}}{15} + 2 K$

Schritt 3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{- \frac{8 x^{3}}{15} + 2 K}$

Schritt 3.4

Vereinfache $\pm \sqrt{- \frac{8 x^{3}}{15} + 2 K}$ .

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- \frac{8 x^{3}}{15} + 2 K$ heraus.

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Schritt 3.4.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- \frac{8 x^{3}}{15}$ heraus.

$y = \pm \sqrt{2 (- \frac{4 x^{3}}{15}) + 2 K}$

Schritt 3.4.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2 K$ heraus.

$y = \pm \sqrt{2 (- \frac{4 x^{3}}{15}) + 2 K}$

Schritt 3.4.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- \frac{4 x^{3}}{15}) + 2 K$ heraus.

$y = \pm \sqrt{2 (- \frac{4 x^{3}}{15} + K)}$

Schritt 3.4.2

Um $K$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{15}{15}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- \frac{4 x^{3}}{15} + K \cdot \frac{15}{15})}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.4.3.1

Kombiniere $K$ und $\frac{15}{15}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- \frac{4 x^{3}}{15} + \frac{K \cdot 15}{15})}$

Schritt 3.4.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \pm \sqrt{2 \frac{- 4 x^{3} + K \cdot 15}{15}}$

Schritt 3.4.4

Bringe $15$ auf die linke Seite von $K$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{- 4 x^{3} + 15 K}{15}}$

Schritt 3.4.5

Kombiniere $2$ und $\frac{- 4 x^{3} + 15 K}{15}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (- 4 x^{3} + 15 K)}{15}}$

Schritt 3.4.6

Schreibe $\sqrt{\frac{2 (- 4 x^{3} + 15 K)}{15}}$ als $\frac{\sqrt{2 (- 4 x^{3} + 15 K)}}{\sqrt{15}}$ um.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 4 x^{3} + 15 K)}}{\sqrt{15}}$

Schritt 3.4.7

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2 (- 4 x^{3} + 15 K)}}{\sqrt{15}}$ mit $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 4 x^{3} + 15 K)}}{\sqrt{15}} \cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$

Schritt 3.4.8

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.4.8.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2 (- 4 x^{3} + 15 K)}}{\sqrt{15}}$ mit $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 4 x^{3} + 15 K)} \sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

Schritt 3.4.8.2

Potenziere $\sqrt{15}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 4 x^{3} + 15 K)} \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{1} \sqrt{15}}$

Schritt 3.4.8.3

Potenziere $\sqrt{15}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 4 x^{3} + 15 K)} \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{1} {\sqrt{15}}^{1}}$

Schritt 3.4.8.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 4 x^{3} + 15 K)} \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{1 + 1}}$

Schritt 3.4.8.5

Addiere $1$ und $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 4 x^{3} + 15 K)} \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{2}}$

Schritt 3.4.8.6

Schreibe ${\sqrt{15}}^{2}$ als $15$ um.

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Schritt 3.4.8.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{15}$ als $15^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 4 x^{3} + 15 K)} \sqrt{15}}{{(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.4.8.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 4 x^{3} + 15 K)} \sqrt{15}}{15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.4.8.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 4 x^{3} + 15 K)} \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.4.8.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.8.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 4 x^{3} + 15 K)} \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.4.8.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 4 x^{3} + 15 K)} \sqrt{15}}{15^{1}}$

Schritt 3.4.8.6.5

Berechne den Exponenten.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 4 x^{3} + 15 K)} \sqrt{15}}{15}$

Schritt 3.4.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.9.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 4 x^{3} + 15 K) \cdot 15}}{15}$

Schritt 3.4.9.2

Mutltipliziere $15$ mit $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{30 (- 4 x^{3} + 15 K)}}{15}$

Schritt 3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \frac{\sqrt{30 (- 4 x^{3} + 15 K)}}{15}$

Schritt 3.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \frac{\sqrt{30 (- 4 x^{3} + 15 K)}}{15}$

Schritt 3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{\sqrt{30 (- 4 x^{3} + 15 K)}}{15}$

$y = - \frac{\sqrt{30 (- 4 x^{3} + 15 K)}}{15}$

$y = \frac{\sqrt{30 (- 4 x^{3} + 15 K)}}{15}$

$y = - \frac{\sqrt{30 (- 4 x^{3} + 15 K)}}{15}$

$y = \frac{\sqrt{30 (- 4 x^{3} + 15 K)}}{15}$

$y = - \frac{\sqrt{30 (- 4 x^{3} + 15 K)}}{15}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{\sqrt{30 (- 4 x^{3} + K)}}{15}$

$y = - \frac{\sqrt{30 (- 4 x^{3} + K)}}{15}$