Analysis Beispiele

$3 y^{2} t d y + (y^{3} + 2 t) d t = 0$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung so um, dass sie der Technik der exakten Differentialgleichung entspricht.

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Schritt 1.1

Forme um.

$(y^{3} + 2 t) d t + 3 y^{2} t d y = 0$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = y^{3} + 2 t$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{3} + 2 t]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{3} + 2 t$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [2 t]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [2 t]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2} + \frac{d}{d y} [2 t]$

Schritt 2.4

Da $2 t$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 t$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2} + 0$

Schritt 2.5

Addiere $3 y^{2}$ und $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2}$

Schritt 3

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = 3 y^{2} t$ .

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Schritt 3.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 y^{2} t]$

Schritt 3.2

Da $3 y^{2} t$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 y^{2} t$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

Schritt 4

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 4.1

Setze $3 y^{2}$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $0$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$3 y^{2} = 0$

Schritt 4.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$3 y^{2} = 0$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 5

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Schritt 5.1

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $3 y^{2}$ .

$\frac{3 y^{2} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Schritt 5.2

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $0$ .

$\frac{3 y^{2} + 0}{N}$

Schritt 5.3

Ersetze $N$ durch $3 y^{2} t$ .

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Schritt 5.3.1

Ersetze $N$ durch $3 y^{2} t$ .

$\frac{3 y^{2} + 0}{3 y^{2} t}$

Schritt 5.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3 y^{2} + 0$ und $3$ .

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Schritt 5.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 y^{2}$ heraus.

$\frac{3 (y^{2}) + 0}{3 y^{2} t}$

Schritt 5.3.2.2

Faktorisiere $3$ aus $0$ heraus.

$\frac{3 (y^{2}) + 3 \cdot 0}{3 y^{2} t}$

Schritt 5.3.2.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (y^{2}) + 3 (0)$ heraus.

$\frac{3 (y^{2} + 0)}{3 y^{2} t}$

Schritt 5.3.2.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.2.4.1

Faktorisiere $3$ aus $3 y^{2} t$ heraus.

$\frac{3 (y^{2} + 0)}{3 (y^{2} t)}$

Schritt 5.3.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (y^{2} + 0)}{3 (y^{2} t)}$

Schritt 5.3.2.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y^{2} + 0}{y^{2} t}$

Schritt 5.3.3

Addiere $y^{2}$ und $0$ .

$\frac{y^{2}}{y^{2} t}$

Schritt 5.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 5.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{2}}{y^{2} t}$

Schritt 5.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{t}$

Schritt 5.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{t} d x}$

Schritt 6

Berechne das Integral $e^{\int \frac{1}{t} d x}$ .

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Schritt 6.1

Wende die Konstantenregel an.

$μ (x, y) = e^{\frac{1}{t} x + C}$

Schritt 6.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.2.1

Kombiniere $\frac{1}{t}$ und $x$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{x}{t} + C}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{\frac{x}{t}} + C$

Schritt 7

Multipliziere beide Seiten von $(y^{3} + 2 t) d t + 3 y^{2} t d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $e^{\frac{x}{t}}$ .

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $y^{3} + 2 t$ mit $e^{\frac{x}{t}}$ .

$(y^{3} + 2 t) e^{\frac{x}{t}} d t + 3 y^{2} t d y = 0$

Schritt 7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}) d t + 3 y^{2} t d y = 0$

Schritt 7.3

Mutltipliziere $3 y^{2} t$ mit $e^{\frac{x}{t}}$ .

$(y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}) d t + 3 y^{2} t e^{\frac{x}{t}} d y = 0$

Schritt 8

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 y^{2} t e^{\frac{x}{t}} d y$

Schritt 9

Integriere $N (x, y) = 3 y^{2} t e^{\frac{x}{t}}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 9.1

Da $3 t e^{\frac{x}{t}}$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $3 t e^{\frac{x}{t}}$ aus dem Integral.

$f (x, y) = 3 t e^{\frac{x}{t}} \int y^{2} d y$

Schritt 9.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = 3 t e^{\frac{x}{t}} (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

Schritt 9.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.3.1

Schreibe $3 t e^{\frac{x}{t}} (\frac{1}{3} y^{3} + C)$ als $3 t e^{\frac{x}{t}} \frac{1}{3} y^{3} + C$ um.

$f (x, y) = 3 t e^{\frac{x}{t}} \frac{1}{3} y^{3} + C$

Schritt 9.3.2

Vereinfache.

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Schritt 9.3.2.1

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = t e^{\frac{x}{t}} \frac{3}{3} y^{3} + C$

Schritt 9.3.2.2

Kombiniere $\frac{3}{3}$ und $t$ .

$f (x, y) = \frac{3 t}{3} e^{\frac{x}{t}} y^{3} + C$

Schritt 9.3.2.3

Kombiniere $\frac{3 t}{3}$ und $e^{\frac{x}{t}}$ .

$f (x, y) = \frac{3 t e^{\frac{x}{t}}}{3} y^{3} + C$

Schritt 9.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 9.3.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x, y) = \frac{3 t e^{\frac{x}{t}}}{3} y^{3} + C$

Schritt 9.3.2.4.2

Dividiere $t e^{\frac{x}{t}}$ durch $1$ .

$f (x, y) = t e^{\frac{x}{t}} y^{3} + C$

Schritt 10

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = t e^{\frac{x}{t}} y^{3} + g (x)$

Schritt 11

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Schritt 12

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 12.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [t e^{\frac{x}{t}} y^{3} + g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Schritt 12.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t e^{\frac{x}{t}} y^{3} + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [t e^{\frac{x}{t}} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [t e^{\frac{x}{t}} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Schritt 12.3

Berechne $\frac{d}{d x} [t e^{\frac{x}{t}} y^{3}]$ .

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Schritt 12.3.1

Da $t y^{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $t e^{\frac{x}{t}} y^{3}$ nach $x$ gleich $t y^{3} \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{t}}]$ .

$t y^{3} \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{t}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Schritt 12.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = \frac{x}{t}$ .

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Schritt 12.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{x}{t}$ .

$t y^{3} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{t}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Schritt 12.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$t y^{3} (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{t}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Schritt 12.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x}{t}$ .

$t y^{3} (e^{\frac{x}{t}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{t}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Schritt 12.3.3

Da $\frac{1}{t}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{t}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{t} \frac{d}{d x} [x]$ .

$t y^{3} (e^{\frac{x}{t}} (\frac{1}{t} \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Schritt 12.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$t y^{3} (e^{\frac{x}{t}} (\frac{1}{t} \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Schritt 12.3.5

Mutltipliziere $\frac{1}{t}$ mit $1$ .

$t y^{3} (e^{\frac{x}{t}} \frac{1}{t}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Schritt 12.3.6

Kombiniere $e^{\frac{x}{t}}$ und $\frac{1}{t}$ .

$t y^{3} \frac{e^{\frac{x}{t}}}{t} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Schritt 12.3.7

Kombiniere $t$ und $\frac{e^{\frac{x}{t}}}{t}$ .

$y^{3} \frac{t e^{\frac{x}{t}}}{t} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Schritt 12.3.8

Kombiniere $y^{3}$ und $\frac{t e^{\frac{x}{t}}}{t}$ .

$\frac{y^{3} (t e^{\frac{x}{t}})}{t} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Schritt 12.3.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t$ .

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Schritt 12.3.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{3} t e^{\frac{x}{t}}}{t} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Schritt 12.3.9.2

Dividiere $y^{3} e^{\frac{x}{t}}$ durch $1$ .

$y^{3} e^{\frac{x}{t}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Schritt 12.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$y^{3} e^{\frac{x}{t}} + \frac{d g}{d x} = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Schritt 12.5

Vereinfache.

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Schritt 12.5.1

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} + e^{\frac{x}{t}} y^{3} = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Schritt 12.5.2

Stelle die Faktoren in $\frac{d g}{d x} + e^{\frac{x}{t}} y^{3}$ um.

$\frac{d g}{d x} + y^{3} e^{\frac{x}{t}} = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Schritt 13

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 13.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 13.1.1

Subtrahiere $y^{3} e^{\frac{x}{t}}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} = y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}} - y^{3} e^{\frac{x}{t}}$

Schritt 13.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t e^{\frac{x}{t}} - y^{3} e^{\frac{x}{t}}$ .

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Schritt 13.1.2.1

Subtrahiere $y^{3} e^{\frac{x}{t}}$ von $y^{3} e^{\frac{x}{t}}$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 t e^{\frac{x}{t}} + 0$

Schritt 13.1.2.2

Addiere $2 t e^{\frac{x}{t}}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 t e^{\frac{x}{t}}$

Schritt 14

Bestimme die Stammfunktion von $2 t e^{\frac{x}{t}}$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 14.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = 2 t e^{\frac{x}{t}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 t e^{\frac{x}{t}} d x$

Schritt 14.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 2 t e^{\frac{x}{t}} d x$

Schritt 14.3

Da $2 t$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2 t$ aus dem Integral.

$g (x) = 2 t \int e^{\frac{x}{t}} d x$

Schritt 14.4

Sei $u = \frac{x}{t}$ . Dann ist $d u = \frac{1}{t} d x$ , folglich $t d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 14.4.1

Es sei $u = \frac{x}{t}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 14.4.1.1

Differenziere $\frac{x}{t}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{t}]$

Schritt 14.4.1.2

Da $\frac{1}{t}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{t}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{t} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{t} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 14.4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{t} \cdot 1$

Schritt 14.4.1.4

Mutltipliziere $\frac{1}{t}$ mit $1$ .

$\frac{1}{t}$

Schritt 14.4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$g (x) = 2 t \int e^{u} \frac{1}{\frac{1}{t}} d u$

Schritt 14.5

Vereinfache.

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Schritt 14.5.1

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{t}$ zu dividieren.

$g (x) = 2 t \int e^{u} (1 t) d u$

Schritt 14.5.2

Mutltipliziere $t$ mit $1$ .

$g (x) = 2 t \int e^{u} t d u$

Schritt 14.6

Da $t$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $t$ aus dem Integral.

$g (x) = 2 t (t \int e^{u} d u)$

Schritt 14.7

Vereinfache.

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Schritt 14.7.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$g (x) = 2 (t^{1} t) \int e^{u} d u$

Schritt 14.7.2

Potenziere $t$ mit $1$ .

$g (x) = 2 (t^{1} t^{1}) \int e^{u} d u$

Schritt 14.7.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$g (x) = 2 t^{1 + 1} \int e^{u} d u$

Schritt 14.7.4

Addiere $1$ und $1$ .

$g (x) = 2 t^{2} \int e^{u} d u$

Schritt 14.8

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$g (x) = 2 t^{2} (e^{u} + C)$

Schritt 14.9

Vereinfache.

$g (x) = 2 t^{2} e^{u} + C$

Schritt 14.10

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x}{t}$ .

$g (x) = 2 t^{2} e^{\frac{x}{t}} + C$

Schritt 15

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = t e^{\frac{x}{t}} y^{3} + g (x)$ ein.

$f (x, y) = t e^{\frac{x}{t}} y^{3} + 2 t^{2} e^{\frac{x}{t}} + C$

Schritt 16

Stelle die Faktoren in $f (x, y) = t e^{\frac{x}{t}} y^{3} + 2 t^{2} e^{\frac{x}{t}} + C$ um.

$f (x, y) = t y^{3} e^{\frac{x}{t}} + 2 t^{2} e^{\frac{x}{t}} + C$