Analysis Beispiele

$2 x y + 4 x + (x^{2} - 9) \frac{d y}{d x} = 0$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Löse nach $\frac{d y}{d x}$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x y + 4 x + x^{2} \frac{d y}{d x} - 9 \frac{d y}{d x} = 0$

Schritt 1.1.2

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d y}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.1

Subtrahiere $2 x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x + x^{2} \frac{d y}{d x} - 9 \frac{d y}{d x} = - 2 x y$

Schritt 1.1.2.2

Subtrahiere $4 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 9 \frac{d y}{d x} = - 2 x y - 4 x$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $\frac{d y}{d x}$ aus $x^{2} \frac{d y}{d x} - 9 \frac{d y}{d x}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.1

Faktorisiere $\frac{d y}{d x}$ aus $x^{2} \frac{d y}{d x}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} x^{2} - 9 \frac{d y}{d x} = - 2 x y - 4 x$

Schritt 1.1.3.2

Faktorisiere $\frac{d y}{d x}$ aus $- 9 \frac{d y}{d x}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot - 9 = - 2 x y - 4 x$

Schritt 1.1.3.3

Faktorisiere $\frac{d y}{d x}$ aus $\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot - 9$ heraus.

$\frac{d y}{d x} (x^{2} - 9) = - 2 x y - 4 x$

Schritt 1.1.4

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{d y}{d x} (x^{2} - 3^{2}) = - 2 x y - 4 x$

Schritt 1.1.5

Faktorisiere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.5.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$\frac{d y}{d x} ((x + 3) (x - 3)) = - 2 x y - 4 x$

Schritt 1.1.5.2

Entferne unnötige Klammern.

$\frac{d y}{d x} (x + 3) (x - 3) = - 2 x y - 4 x$

Schritt 1.1.6

Teile jeden Ausdruck in $\frac{d y}{d x} (x + 3) (x - 3) = - 2 x y - 4 x$ durch $(x + 3) (x - 3)$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.6.1

Teile jeden Ausdruck in $\frac{d y}{d x} (x + 3) (x - 3) = - 2 x y - 4 x$ durch $(x + 3) (x - 3)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x + 3) (x - 3)}{(x + 3) (x - 3)} = \frac{- 2 x y}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{- 4 x}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 1.1.6.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x + 3) (x - 3)}{(x + 3) (x - 3)} = \frac{- 2 x y}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{- 4 x}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 1.1.6.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x - 3)}{x - 3} = \frac{- 2 x y}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{- 4 x}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 1.1.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x - 3)}{x - 3} = \frac{- 2 x y}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{- 4 x}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 1.1.6.2.2.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 x y}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{- 4 x}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 1.1.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.6.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.6.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{- 4 x}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 1.1.6.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y}{(x + 3) (x - 3)} - \frac{4 x}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 1.2

Faktorisiere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- \frac{2 x y}{(x + 3) (x - 3)} - \frac{4 x}{(x + 3) (x - 3)}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- \frac{2 x y}{(x + 3) (x - 3)}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{2 x y}{(x + 3) (x - 3)}) - \frac{4 x}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 1.2.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- \frac{4 x}{(x + 3) (x - 3)}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{2 x y}{(x + 3) (x - 3)}) - (\frac{4 x}{(x + 3) (x - 3)})$

Schritt 1.2.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\frac{2 x y}{(x + 3) (x - 3)}) - (\frac{4 x}{(x + 3) (x - 3)})$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{2 x y}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{4 x}{(x + 3) (x - 3)})$

Schritt 1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y + 4 x}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x y + 4 x$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.1

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x (y) + 4 x}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 1.2.3.2

Faktorisiere $2 x$ aus $4 x$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x (y) + 2 x (2)}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 1.2.3.3

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (y) + 2 x (2)$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x (y + 2)}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 1.3

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{(x + 3) (x - 3)} (y + 2)$

Schritt 1.4

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y + 2}$ .

$\frac{1}{y + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 2} (- \frac{2 x}{(x + 3) (x - 3)} (y + 2))$

Schritt 1.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{y + 2} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y + 2} (\frac{2 x}{(x + 3) (x - 3)} (y + 2))$

Schritt 1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y + 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{y + 2}$ in den Zähler.

$\frac{1}{y + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y + 2} (\frac{2 x}{(x + 3) (x - 3)} (y + 2))$

Schritt 1.5.2.2

Faktorisiere $y + 2$ aus $\frac{2 x}{(x + 3) (x - 3)} (y + 2)$ heraus.

$\frac{1}{y + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y + 2} ((y + 2) \frac{2 x}{(x + 3) (x - 3)})$

Schritt 1.5.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y + 2} ((y + 2) \frac{2 x}{(x + 3) (x - 3)})$

Schritt 1.5.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y + 2} \frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 1.6

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y + 2} d y = - \frac{2 x}{(x + 3) (x - 3)} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y + 2} d y = \int - \frac{2 x}{(x + 3) (x - 3)} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Sei $u_{1} = y + 2$ . Dann ist $d u_{1} = d y$ . Forme um unter Vewendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1

Es sei $u_{1} = y + 2$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1.1

Differenziere $y + 2$ .

$\frac{d}{d y} [y + 2]$

Schritt 2.2.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y + 2$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$

Schritt 2.2.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [2]$

Schritt 2.2.1.1.4

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 2.2.1.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{2 x}{(x + 3) (x - 3)} d x$

Schritt 2.2.2

Das Integral von $\frac{1}{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{2 x}{(x + 3) (x - 3)} d x$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $y + 2$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = \int - \frac{2 x}{(x + 3) (x - 3)} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \int \frac{2 x}{(x + 3) (x - 3)} d x$

Schritt 2.3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - (2 \int \frac{x}{(x + 3) (x - 3)} d x)$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - 2 \int \frac{x}{(x + 3) (x - 3)} d x$

Schritt 2.3.4

Sei $u_{2} = (x + 3) (x - 3)$ . Dann ist $d u_{2} = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.4.1

Es sei $u_{2} = (x + 3) (x - 3)$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.4.1.1

Differenziere $(x + 3) (x - 3)$ .

$\frac{d}{d x} [(x + 3) (x - 3)]$

Schritt 2.3.4.1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x + 3$ und $g (x) = x - 3$ .

$(x + 3) \frac{d}{d x} [x - 3] + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]$

Schritt 2.3.4.1.3

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.4.1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$(x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]$

Schritt 2.3.4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]$

Schritt 2.3.4.1.3.3

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(x + 3) (1 + 0) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]$

Schritt 2.3.4.1.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.4.1.3.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$(x + 3) \cdot 1 + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]$

Schritt 2.3.4.1.3.4.2

Mutltipliziere $x + 3$ mit $1$ .

$x + 3 + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]$

Schritt 2.3.4.1.3.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$x + 3 + (x - 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Schritt 2.3.4.1.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x + 3 + (x - 3) (1 + \frac{d}{d x} [3])$

Schritt 2.3.4.1.3.7

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x + 3 + (x - 3) (1 + 0)$

Schritt 2.3.4.1.3.8

Vereinfache durch Addieren von Termen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.4.1.3.8.1

Addiere $1$ und $0$ .

$x + 3 + (x - 3) \cdot 1$

Schritt 2.3.4.1.3.8.2

Mutltipliziere $x - 3$ mit $1$ .

$x + 3 + x - 3$

Schritt 2.3.4.1.3.8.3

Addiere $x$ und $x$ .

$2 x + 3 - 3$

Schritt 2.3.4.1.3.8.4

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.4.1.3.8.4.1

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$2 x + 0$

Schritt 2.3.4.1.3.8.4.2

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 x$

Schritt 2.3.4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u_{2}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Schritt 2.3.5.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u_{2}$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.6

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Schritt 2.3.7

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.7.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 2$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = \frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.7.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.7.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.7.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.7.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.7.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = \frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.7.2.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.8

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Schritt 2.3.9

Vereinfache.

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Schritt 2.3.10

Ersetze alle $u_{2}$ durch $(x + 3) (x - 3)$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \ln (| (x + 3) (x - 3) |) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y + 2 |) = - \ln (| (x + 3) (x - 3) |) + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| y + 2 |) + \ln (| (x + 3) (x - 3) |) = C$

Schritt 3.2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y + 2 | | (x + 3) (x - 3) |) = C$

Schritt 3.3

Multipliziere $(x + 3) (x - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| y + 2 | | x (x - 3) + 3 (x - 3) |) = C$

Schritt 3.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| y + 2 | | x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 (x - 3) |) = C$

Schritt 3.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| y + 2 | | x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3 |) = C$

Schritt 3.4

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen $x \cdot - 3$ und $3 x$ neu an.

$\ln (| y + 2 | | x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3 |) = C$

Schritt 3.4.1.2

Addiere $- 3 x$ und $3 x$ .

$\ln (| y + 2 | | x \cdot x + 0 + 3 \cdot - 3 |) = C$

Schritt 3.4.1.3

Addiere $x \cdot x$ und $0$ .

$\ln (| y + 2 | | x \cdot x + 3 \cdot - 3 |) = C$

Schritt 3.4.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\ln (| y + 2 | | x^{2} + 3 \cdot - 3 |) = C$

Schritt 3.4.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$\ln (| y + 2 | | x^{2} - 9 |) = C$

Schritt 3.5

Um Absolutwerte zu multiplizieren, multipliziere die Terme innerhalb jedes Absolutwerts.

$\ln (| (y + 2) (x^{2} - 9) |) = C$

Schritt 3.6

Multipliziere $(y + 2) (x^{2} - 9)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| y (x^{2} - 9) + 2 (x^{2} - 9) |) = C$

Schritt 3.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| y x^{2} + y \cdot - 9 + 2 (x^{2} - 9) |) = C$

Schritt 3.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| y x^{2} + y \cdot - 9 + 2 x^{2} + 2 \cdot - 9 |) = C$

Schritt 3.7

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.1

Bringe $- 9$ auf die linke Seite von $y$ .

$\ln (| y x^{2} - 9 \cdot y + 2 x^{2} + 2 \cdot - 9 |) = C$

Schritt 3.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 9$ .

$\ln (| y x^{2} - 9 y + 2 x^{2} - 18 |) = C$

Schritt 3.8

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| y x^{2} - 9 y + 2 x^{2} - 18 |)} = e^{C}$

Schritt 3.9

Schreibe $\ln (| y x^{2} - 9 y + 2 x^{2} - 18 |) = C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | y x^{2} - 9 y + 2 x^{2} - 18 |$

Schritt 3.10

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.10.1

Schreibe die Gleichung als $| y x^{2} - 9 y + 2 x^{2} - 18 | = e^{C}$ um.

$| y x^{2} - 9 y + 2 x^{2} - 18 | = e^{C}$

Schritt 3.10.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y x^{2} - 9 y + 2 x^{2} - 18 = \pm e^{C}$

Schritt 3.10.3

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.10.3.1

Subtrahiere $2 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y x^{2} - 9 y - 18 = \pm e^{C} - 2 x^{2}$

Schritt 3.10.3.2

Addiere $18$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y x^{2} - 9 y = \pm e^{C} - 2 x^{2} + 18$

Schritt 3.10.4

Faktorisiere $y$ aus $y x^{2} - 9 y$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.10.4.1

Faktorisiere $y$ aus $y x^{2}$ heraus.

$y (x^{2}) - 9 y = \pm e^{C} - 2 x^{2} + 18$

Schritt 3.10.4.2

Faktorisiere $y$ aus $- 9 y$ heraus.

$y (x^{2}) + y \cdot - 9 = \pm e^{C} - 2 x^{2} + 18$

Schritt 3.10.4.3

Faktorisiere $y$ aus $y (x^{2}) + y \cdot - 9$ heraus.

$y (x^{2} - 9) = \pm e^{C} - 2 x^{2} + 18$

Schritt 3.10.5

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$y (x^{2} - 3^{2}) = \pm e^{C} - 2 x^{2} + 18$

Schritt 3.10.6

Faktorisiere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.10.6.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$y ((x + 3) (x - 3)) = \pm e^{C} - 2 x^{2} + 18$

Schritt 3.10.6.2

Entferne unnötige Klammern.

$y (x + 3) (x - 3) = \pm e^{C} - 2 x^{2} + 18$

Schritt 3.10.7

Teile jeden Ausdruck in $y (x + 3) (x - 3) = \pm e^{C} - 2 x^{2} + 18$ durch $(x + 3) (x - 3)$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.10.7.1

Teile jeden Ausdruck in $y (x + 3) (x - 3) = \pm e^{C} - 2 x^{2} + 18$ durch $(x + 3) (x - 3)$ .

$\frac{y (x + 3) (x - 3)}{(x + 3) (x - 3)} = \frac{\pm e^{C}}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{- 2 x^{2}}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{18}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 3.10.7.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.10.7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.10.7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (x + 3) (x - 3)}{(x + 3) (x - 3)} = \frac{\pm e^{C}}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{- 2 x^{2}}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{18}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 3.10.7.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y (x - 3)}{x - 3} = \frac{\pm e^{C}}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{- 2 x^{2}}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{18}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 3.10.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.10.7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (x - 3)}{x - 3} = \frac{\pm e^{C}}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{- 2 x^{2}}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{18}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 3.10.7.2.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\pm e^{C}}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{- 2 x^{2}}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{18}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 3.10.7.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.10.7.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{\pm e^{C}}{(x + 3) (x - 3)} - \frac{2 x^{2}}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{18}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{C}{(x + 3) (x - 3)} - \frac{2 x^{2}}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{18}{(x + 3) (x - 3)}$