Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 7 y + 4}{6 x - 7}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{- 7 y + 4}$ .

$\frac{1}{- 7 y + 4} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- 7 y + 4} \cdot \frac{- 7 y + 4}{6 x - 7}$

Schritt 1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{- 7 y + 4}$ mit $\frac{- 7 y + 4}{6 x - 7}$ .

$\frac{1}{- 7 y + 4} \frac{d y}{d x} = \frac{- 7 y + 4}{(- 7 y + 4) (6 x - 7)}$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 7 y + 4$ .

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Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{- 7 y + 4} \frac{d y}{d x} = \frac{- 7 y + 4}{(- 7 y + 4) (6 x - 7)}$

Schritt 1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{- 7 y + 4} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{6 x - 7}$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{- 7 y + 4} d y = \frac{1}{6 x - 7} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{- 7 y + 4} d y = \int \frac{1}{6 x - 7} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Sei $u_{1} = - 7 y + 4$ . Dann ist $d u_{1} = - 7 d y$ , folglich $- \frac{1}{7} d u_{1} = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Es sei $u_{1} = - 7 y + 4$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Differenziere $- 7 y + 4$ .

$\frac{d}{d y} [- 7 y + 4]$

Schritt 2.2.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 7 y + 4$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [- 7 y] + \frac{d}{d y} [4]$ .

$\frac{d}{d y} [- 7 y] + \frac{d}{d y} [4]$

Schritt 2.2.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [- 7 y]$ .

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Schritt 2.2.1.1.3.1

Da $- 7$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 7 y$ nach $y$ gleich $- 7 \frac{d}{d y} [y]$ .

$- 7 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [4]$

Schritt 2.2.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 7 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [4]$

Schritt 2.2.1.1.3.3

Mutltipliziere $- 7$ mit $1$ .

$- 7 + \frac{d}{d y} [4]$

Schritt 2.2.1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.2.1.1.4.1

Da $4$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$- 7 + 0$

Schritt 2.2.1.1.4.2

Addiere $- 7$ und $0$ .

$- 7$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{- 7} d u_{1} = \int \frac{1}{6 x - 7} d x$

Schritt 2.2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.2.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int \frac{1}{u_{1}} (- \frac{1}{7}) d u_{1} = \int \frac{1}{6 x - 7} d x$

Schritt 2.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{u_{1}}$ mit $\frac{1}{7}$ .

$\int - \frac{1}{u_{1} \cdot 7} d u_{1} = \int \frac{1}{6 x - 7} d x$

Schritt 2.2.2.3

Bringe $7$ auf die linke Seite von $u_{1}$ .

$\int - \frac{1}{7 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{6 x - 7} d x$

Schritt 2.2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{1}{7 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{6 x - 7} d x$

Schritt 2.2.4

Da $\frac{1}{7}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{7}$ aus dem Integral.

$- (\frac{1}{7} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1}) = \int \frac{1}{6 x - 7} d x$

Schritt 2.2.5

Das Integral von $\frac{1}{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $\ln (| u_{1} |)$ .

$- \frac{1}{7} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{1}{6 x - 7} d x$

Schritt 2.2.6

Vereinfache.

$- \frac{1}{7} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{1}{6 x - 7} d x$

Schritt 2.2.7

Ersetze alle $u_{1}$ durch $- 7 y + 4$ .

$- \frac{1}{7} \ln (| - 7 y + 4 |) + C_{1} = \int \frac{1}{6 x - 7} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Sei $u_{2} = 6 x - 7$ . Dann ist $d u_{2} = 6 d x$ , folglich $\frac{1}{6} d u_{2} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Es sei $u_{2} = 6 x - 7$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Differenziere $6 x - 7$ .

$\frac{d}{d x} [6 x - 7]$

Schritt 2.3.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 x - 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Schritt 2.3.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Schritt 2.3.1.1.3.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Schritt 2.3.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]$

Schritt 2.3.1.1.3.3

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [- 7]$

Schritt 2.3.1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.3.1.1.4.1

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$6 + 0$

Schritt 2.3.1.1.4.2

Addiere $6$ und $0$ .

$6$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$- \frac{1}{7} \ln (| - 7 y + 4 |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{6} d u_{2}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u_{2}}$ mit $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{1}{7} \ln (| - 7 y + 4 |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2} \cdot 6} d u_{2}$

Schritt 2.3.2.2

Bringe $6$ auf die linke Seite von $u_{2}$ .

$- \frac{1}{7} \ln (| - 7 y + 4 |) + C_{1} = \int \frac{1}{6 u_{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.3

Da $\frac{1}{6}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{6}$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{7} \ln (| - 7 y + 4 |) + C_{1} = \frac{1}{6} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.4

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{1}{7} \ln (| - 7 y + 4 |) + C_{1} = \frac{1}{6} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

$- \frac{1}{7} \ln (| - 7 y + 4 |) + C_{1} = \frac{1}{6} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Schritt 2.3.6

Ersetze alle $u_{2}$ durch $6 x - 7$ .

$- \frac{1}{7} \ln (| - 7 y + 4 |) + C_{1} = \frac{1}{6} \ln (| 6 x - 7 |) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$- \frac{1}{7} \ln (| - 7 y + 4 |) = \frac{1}{6} \ln (| 6 x - 7 |) + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- 7$ .

$- 7 (- \frac{1}{7} \ln (| - 7 y + 4 |)) = - 7 (\frac{1}{6} \ln (| 6 x - 7 |) + C)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $- 7 (- \frac{1}{7} \ln (| - 7 y + 4 |))$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\ln (| - 7 y + 4 |)$ und $\frac{1}{7}$ .

$- 7 (- \frac{\ln (| - 7 y + 4 |)}{7}) = - 7 (\frac{1}{6} \ln (| 6 x - 7 |) + C)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\ln (| - 7 y + 4 |)}{7}$ in den Zähler.

$- 7 \frac{- \ln (| - 7 y + 4 |)}{7} = - 7 (\frac{1}{6} \ln (| 6 x - 7 |) + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Faktorisiere $7$ aus $- 7$ heraus.

$7 (- 1) \frac{- \ln (| - 7 y + 4 |)}{7} = - 7 (\frac{1}{6} \ln (| 6 x - 7 |) + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$7 \cdot - 1 \frac{- \ln (| - 7 y + 4 |)}{7} = - 7 (\frac{1}{6} \ln (| 6 x - 7 |) + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$- - \ln (| - 7 y + 4 |) = - 7 (\frac{1}{6} \ln (| 6 x - 7 |) + C)$

Schritt 3.2.1.1.3

Multipliziere.

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Schritt 3.2.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \ln (| - 7 y + 4 |) = - 7 (\frac{1}{6} \ln (| 6 x - 7 |) + C)$

Schritt 3.2.1.1.3.2

Mutltipliziere $\ln (| - 7 y + 4 |)$ mit $1$ .

$\ln (| - 7 y + 4 |) = - 7 (\frac{1}{6} \ln (| 6 x - 7 |) + C)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $- 7 (\frac{1}{6} \ln (| 6 x - 7 |) + C)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $\ln (| 6 x - 7 |)$ .

$\ln (| - 7 y + 4 |) = - 7 (\frac{\ln (| 6 x - 7 |)}{6} + C)$

Schritt 3.2.2.1.2

Um $C$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$\ln (| - 7 y + 4 |) = - 7 (\frac{\ln (| 6 x - 7 |)}{6} + C \cdot \frac{6}{6})$

Schritt 3.2.2.1.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.2.2.1.3.1

Kombiniere $C$ und $\frac{6}{6}$ .

$\ln (| - 7 y + 4 |) = - 7 (\frac{\ln (| 6 x - 7 |)}{6} + \frac{C \cdot 6}{6})$

Schritt 3.2.2.1.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\ln (| - 7 y + 4 |) = - 7 \frac{\ln (| 6 x - 7 |) + C \cdot 6}{6}$

Schritt 3.2.2.1.4

Bringe $6$ auf die linke Seite von $C$ .

$\ln (| - 7 y + 4 |) = - 7 \frac{\ln (| 6 x - 7 |) + 6 C}{6}$

Schritt 3.2.2.1.5

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.2.2.1.5.1

Kombiniere $- 7$ und $\frac{\ln (| 6 x - 7 |) + 6 C}{6}$ .

$\ln (| - 7 y + 4 |) = \frac{- 7 (\ln (| 6 x - 7 |) + 6 C)}{6}$

Schritt 3.2.2.1.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\ln (| - 7 y + 4 |) = - \frac{7 (\ln (| 6 x - 7 |) + 6 C)}{6}$

Schritt 3.3

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| - 7 y + 4 |)} = e^{- \frac{7 (\ln (| 6 x - 7 |) + 6 C)}{6}}$

Schritt 3.4

Schreibe $\ln (| - 7 y + 4 |) = - \frac{7 (\ln (| 6 x - 7 |) + 6 C)}{6}$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{7 (\ln (| 6 x - 7 |) + 6 C)}{6}} = | - 7 y + 4 |$

Schritt 3.5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.5.1

Schreibe die Gleichung als $| - 7 y + 4 | = e^{- \frac{7 (\ln (| 6 x - 7 |) + 6 C)}{6}}$ um.

$| - 7 y + 4 | = e^{- \frac{7 (\ln (| 6 x - 7 |) + 6 C)}{6}}$

Schritt 3.5.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$- 7 y + 4 = \pm e^{- \frac{7 (\ln (| 6 x - 7 |) + 6 C)}{6}}$

Schritt 3.5.3

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 7 y = \pm e^{- \frac{7 (\ln (| 6 x - 7 |) + 6 C)}{6}} - 4$

Schritt 3.5.4

Teile jeden Ausdruck in $- 7 y = \pm e^{- \frac{7 (\ln (| 6 x - 7 |) + 6 C)}{6}} - 4$ durch $- 7$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $- 7 y = \pm e^{- \frac{7 (\ln (| 6 x - 7 |) + 6 C)}{6}} - 4$ durch $- 7$ .

$\frac{- 7 y}{- 7} = \frac{\pm e^{- \frac{7 (\ln (| 6 x - 7 |) + 6 C)}{6}}}{- 7} + \frac{- 4}{- 7}$

Schritt 3.5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 7$ .

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Schritt 3.5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 7 y}{- 7} = \frac{\pm e^{- \frac{7 (\ln (| 6 x - 7 |) + 6 C)}{6}}}{- 7} + \frac{- 4}{- 7}$

Schritt 3.5.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- \frac{7 (\ln (| 6 x - 7 |) + 6 C)}{6}}}{- 7} + \frac{- 4}{- 7}$

Schritt 3.5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.4.3.1.1

Vereinfache $\frac{\pm e^{- \frac{7 (\ln (| 6 x - 7 |) + 6 C)}{6}}}{- 7}$ .

$y = \frac{\pm e^{- \frac{7 (\ln (| 6 x - 7 |) + 6 C)}{6}}}{7} + \frac{- 4}{- 7}$

Schritt 3.5.4.3.1.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y = \frac{\pm e^{- \frac{7 (\ln (| 6 x - 7 |) + 6 C)}{6}}}{7} + \frac{4}{7}$

Schritt 3.5.4.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{\pm e^{- \frac{7 (\ln (| 6 x - 7 |) + 6 C)}{6}} + 4}{7}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{\pm e^{- \frac{7 (\ln (| 6 x - 7 |) + C)}{6}} + 4}{7}$