Analysis Beispiele

$x \frac{d y}{d x} - 2 y = 4 x^{3} y^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung so um, dass sie der Bernoulli-Technik entspricht.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d y}{d x} - 2 y = 4 x^{3} y^{\frac{1}{2}}$ durch $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{4 x^{3} y^{\frac{1}{2}}}{x}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{4 x^{3} y^{\frac{1}{2}}}{x}$

Schritt 1.2.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{4 x^{3} y^{\frac{1}{2}}}{x}$

Schritt 1.3

Faktorisiere $x$ aus $4 x^{3} y^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x (4 x^{2} y^{\frac{1}{2}})}{x}$

Schritt 1.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x (4 x^{2} y^{\frac{1}{2}})}{x^{1}}$

Schritt 1.4.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x (4 x^{2} y^{\frac{1}{2}})}{x \cdot 1}$

Schritt 1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x (4 x^{2} y^{\frac{1}{2}})}{x \cdot 1}$

Schritt 1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{4 x^{2} y^{\frac{1}{2}}}{1}$

Schritt 1.4.5

Dividiere $4 x^{2} y^{\frac{1}{2}}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = 4 x^{2} y^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.5

Faktorisiere $y$ aus $\frac{- 2 y}{x}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 2}{x} = 4 x^{2} y^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.6

Stelle $y$ und $\frac{- 2}{x}$ um.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2}{x} y = 4 x^{2} y^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2

Um die Differentialgleichung zu lösen, sei $v = y^{1 - n}$ wo $n$ der Exponent von $y^{\frac{1}{2}}$ ist.

$v = y^{\frac{1}{2}}$

Schritt 3

Löse die Gleichung nach $y$ auf.

$y = v^{2}$

Schritt 4

Nimm die Ableitung von $y$ in Gedenken an $x$ .

$y' = v^{2}$

Schritt 5

Nimm die Ableitung von $v^{2}$ in Gedenken an $x$ .

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Schritt 5.1

Nimm die Ableitung von $v^{2}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{2}]$

Schritt 5.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = v$ .

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Schritt 5.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $v$ .

$y' = \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [v]$

Schritt 5.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$y' = 2 u \frac{d}{d x} [v]$

Schritt 5.2.3

Ersetze alle $u$ durch $v$ .

$y' = 2 v \frac{d}{d x} [v]$

Schritt 5.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [v]$ als $v'$ um.

$y' = 2 v v'$

Schritt 6

Setze $2 v v'$ für $\frac{d y}{d x}$ und $v^{2}$ für $y$ in die ursprüngliche Gleichung $\frac{d y}{d x} + \frac{- 2}{x} y = 4 x^{2} y^{\frac{1}{2}}$ ein.

$2 v v' + \frac{- 2}{x} v^{2} = 4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 7

Löse die substituierte Differentialgleichung.

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Schritt 7.1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ um.

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Schritt 7.1.1

Teile jeden Ausdruck in $2 v \frac{d v}{d x} + \frac{- 2}{x} v^{2} = 4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ durch $2 v$ und vereinfache.

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Schritt 7.1.1.1

Teile jeden Ausdruck in $2 v \frac{d v}{d x} + \frac{- 2}{x} v^{2} = 4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ durch $2 v$ .

$\frac{2 v \frac{d v}{d x}}{2 v} + \frac{\frac{- 2}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Schritt 7.1.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.1.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.1.1.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 v \frac{d v}{d x}}{2 v} + \frac{\frac{- 2}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Schritt 7.1.1.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{v \frac{d v}{d x}}{v} + \frac{\frac{- 2}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Schritt 7.1.1.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $v$ .

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Schritt 7.1.1.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{v \frac{d v}{d x}}{v} + \frac{\frac{- 2}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Schritt 7.1.1.2.1.2.2

Dividiere $\frac{d v}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{\frac{- 2}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Schritt 7.1.1.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $v^{2}$ und $v$ .

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Schritt 7.1.1.2.1.3.1

Faktorisiere $v$ aus $\frac{- 2}{x} v^{2}$ heraus.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v (\frac{- 2}{x} v)}{2 v} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Schritt 7.1.1.2.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.1.1.2.1.3.2.1

Faktorisiere $v$ aus $2 v$ heraus.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v (\frac{- 2}{x} v)}{v \cdot 2} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Schritt 7.1.1.2.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v (\frac{- 2}{x} v)}{v \cdot 2} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Schritt 7.1.1.2.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d v}{d x} + \frac{\frac{- 2}{x} v}{2} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Schritt 7.1.1.2.1.4

Kombiniere $\frac{- 2}{x}$ und $v$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{\frac{- 2 v}{x}}{2} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Schritt 7.1.1.2.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- \frac{2 v}{x}}{2} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Schritt 7.1.1.2.1.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Schritt 7.1.1.2.1.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.1.1.2.1.7.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2 v}{x}$ in den Zähler.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 2 v}{x} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Schritt 7.1.1.2.1.7.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 v$ heraus.

$\frac{d v}{d x} + \frac{2 (- v)}{x} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Schritt 7.1.1.2.1.7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d v}{d x} + \frac{2 (- v)}{x} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Schritt 7.1.1.2.1.7.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Schritt 7.1.1.2.1.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Schritt 7.1.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.1.1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{2 (2 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 v}$

Schritt 7.1.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.1.1.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 v$ heraus.

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{2 (2 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 (v)}$

Schritt 7.1.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{2 (2 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 v}$

Schritt 7.1.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{2 x^{2} {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{v}$

Schritt 7.1.1.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1.3.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 7.1.1.3.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{2 x^{2} v^{2 (\frac{1}{2})}}{v}$

Schritt 7.1.1.3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.1.1.3.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{2 x^{2} v^{2 (\frac{1}{2})}}{v}$

Schritt 7.1.1.3.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{2 x^{2} v^{1}}{v}$

Schritt 7.1.1.3.3.2

Vereinfache.

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{2 x^{2} v}{v}$

Schritt 7.1.1.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $v$ .

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Schritt 7.1.1.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = \frac{2 x^{2} v}{v}$

Schritt 7.1.1.3.4.2

Dividiere $2 x^{2}$ durch $1$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = 2 x^{2}$

Schritt 7.1.2

Faktorisiere $v$ aus $- \frac{v}{x}$ heraus.

$\frac{d v}{d x} + v (- \frac{1}{x}) = 2 x^{2}$

Schritt 7.1.3

Stelle $v$ und $- \frac{1}{x}$ um.

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v = 2 x^{2}$

Schritt 7.2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = - \frac{1}{x}$ gilt.

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Schritt 7.2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Schritt 7.2.2

Integriere $- \frac{1}{x}$ .

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Schritt 7.2.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 7.2.2.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Schritt 7.2.2.3

Vereinfache.

$e^{- \ln (| x |) + C}$

Schritt 7.2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{- \ln (x)}$

Schritt 7.2.4

Verwende die Potenzregel des Logarithmus.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

Schritt 7.2.5

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$x^{- 1}$

Schritt 7.2.6

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x}$

Schritt 7.3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\frac{1}{x}$ .

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Schritt 7.3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} v) = \frac{1}{x} (2 x^{2})$

Schritt 7.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.3.2.1

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $\frac{d v}{d x}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} v) = \frac{1}{x} (2 x^{2})$

Schritt 7.3.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} v) = \frac{1}{x} (2 x^{2})$

Schritt 7.3.2.3

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{v}{x} = \frac{1}{x} (2 x^{2})$

Schritt 7.3.2.4

Multipliziere $- \frac{1}{x} \cdot \frac{v}{x}$ .

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Schritt 7.3.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{v}{x}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x \cdot x} = \frac{1}{x} (2 x^{2})$

Schritt 7.3.2.4.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1} x} = \frac{1}{x} (2 x^{2})$

Schritt 7.3.2.4.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} (2 x^{2})$

Schritt 7.3.2.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} (2 x^{2})$

Schritt 7.3.2.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{1}{x} (2 x^{2})$

Schritt 7.3.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = 2 \frac{1}{x} x^{2}$

Schritt 7.3.4

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{2}{x} x^{2}$

Schritt 7.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 7.3.5.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{2}{x} (x \cdot x)$

Schritt 7.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{2}{x} (x \cdot x)$

Schritt 7.3.5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = 2 x$

Schritt 7.4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} v] = 2 x$

Schritt 7.5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} v] d x = \int 2 x d x$

Schritt 7.6

Integriere die linke Seite.

$\frac{1}{x} v = \int 2 x d x$

Schritt 7.7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.7.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\frac{1}{x} v = 2 \int x d x$

Schritt 7.7.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{x} v = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 7.7.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.7.3.1

Schreibe $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ als $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ um.

$\frac{1}{x} v = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Schritt 7.7.3.2

Vereinfache.

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Schritt 7.7.3.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x} v = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Schritt 7.7.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.7.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{x} v = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Schritt 7.7.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x} v = 1 x^{2} + C$

Schritt 7.7.3.2.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{x} v = x^{2} + C$

Schritt 7.8

Löse nach $v$ auf.

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Schritt 7.8.1

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $v$ .

$\frac{v}{x} = x^{2} + C$

Schritt 7.8.2

Multipliziere beide Seiten mit $x$ .

$\frac{v}{x} x = (x^{2} + C) x$

Schritt 7.8.3

Vereinfache.

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Schritt 7.8.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.8.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 7.8.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{v}{x} x = (x^{2} + C) x$

Schritt 7.8.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$v = (x^{2} + C) x$

Schritt 7.8.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.8.3.2.1

Vereinfache $(x^{2} + C) x$ .

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Schritt 7.8.3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$v = x^{2} x + C x$

Schritt 7.8.3.2.1.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.8.3.2.1.2.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 7.8.3.2.1.2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$v = x^{2} x^{1} + C x$

Schritt 7.8.3.2.1.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$v = x^{2 + 1} + C x$

Schritt 7.8.3.2.1.2.2

Addiere $2$ und $1$ .

$v = x^{3} + C x$

Schritt 8

Ersetze $v$ durch $y^{\frac{1}{2}}$ .

$y^{\frac{1}{2}} = x^{3} + C x$