Analysis Beispiele

$\frac{1}{e^{x}} + 2 = x - 3 \frac{d y}{d x}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Löse nach $\frac{d y}{d x}$ auf.

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Schritt 1.1.1

Schreibe die Gleichung als $x - 3 \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{x}} + 2$ um.

$x - 3 \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{x}} + 2$

Schritt 1.1.2

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{x}} + 2 - x$

Schritt 1.1.3

Teile jeden Ausdruck in $- 3 \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{x}} + 2 - x$ durch $- 3$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{x}} + 2 - x$ durch $- 3$ .

$\frac{- 3 \frac{d y}{d x}}{- 3} = \frac{\frac{1}{e^{x}}}{- 3} + \frac{2}{- 3} + \frac{- x}{- 3}$

Schritt 1.1.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

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Schritt 1.1.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 \frac{d y}{d x}}{- 3} = \frac{\frac{1}{e^{x}}}{- 3} + \frac{2}{- 3} + \frac{- x}{- 3}$

Schritt 1.1.3.2.1.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{1}{e^{x}}}{- 3} + \frac{2}{- 3} + \frac{- x}{- 3}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.3.1.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{x}} \cdot \frac{1}{- 3} + \frac{2}{- 3} + \frac{- x}{- 3}$

Schritt 1.1.3.3.1.2

Kombinieren.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{e^{x} \cdot - 3} + \frac{2}{- 3} + \frac{- x}{- 3}$

Schritt 1.1.3.3.1.3

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{x} \cdot - 3} + \frac{2}{- 3} + \frac{- x}{- 3}$

Schritt 1.1.3.3.1.4

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $e^{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{- 3 \cdot e^{x}} + \frac{2}{- 3} + \frac{- x}{- 3}$

Schritt 1.1.3.3.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{3 \cdot e^{x}} + \frac{2}{- 3} + \frac{- x}{- 3}$

Schritt 1.1.3.3.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{3 e^{x}} - \frac{2}{3} + \frac{- x}{- 3}$

Schritt 1.1.3.3.1.7

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{3 e^{x}} - \frac{2}{3} + \frac{x}{3}$

Schritt 1.2

Schreibe die Gleichung um.

$d y = (- \frac{1}{3 e^{x}} - \frac{2}{3} + \frac{x}{3}) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int - \frac{1}{3 e^{x}} - \frac{2}{3} + \frac{x}{3} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int - \frac{1}{3 e^{x}} - \frac{2}{3} + \frac{x}{3} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{1} = \int - \frac{1}{3 e^{x}} d x + \int - \frac{2}{3} d x + \int \frac{x}{3} d x$

Schritt 2.3.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = - \int \frac{1}{3 e^{x}} d x + \int - \frac{2}{3} d x + \int \frac{x}{3} d x$

Schritt 2.3.3

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = - (\frac{1}{3} \int \frac{1}{e^{x}} d x) + \int - \frac{2}{3} d x + \int \frac{x}{3} d x$

Schritt 2.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.4.1

Kehre das Vorzeichen des Exponenten von $e^{x}$ um und ziehe es aus dem Nenner heraus.

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} \int 1 {(e^{x})}^{- 1} d x + \int - \frac{2}{3} d x + \int \frac{x}{3} d x$

Schritt 2.3.4.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.4.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{x})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.3.4.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} \int 1 e^{x \cdot - 1} d x + \int - \frac{2}{3} d x + \int \frac{x}{3} d x$

Schritt 2.3.4.2.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} \int 1 e^{- 1 \cdot x} d x + \int - \frac{2}{3} d x + \int \frac{x}{3} d x$

Schritt 2.3.4.2.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} \int 1 e^{- x} d x + \int - \frac{2}{3} d x + \int \frac{x}{3} d x$

Schritt 2.3.4.2.2

Mutltipliziere $e^{- x}$ mit $1$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} \int e^{- x} d x + \int - \frac{2}{3} d x + \int \frac{x}{3} d x$

Schritt 2.3.5

Sei $u = - x$ . Dann ist $d u = - d x$ , folglich $- d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.5.1

Es sei $u = - x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.5.1.1

Differenziere $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.3.5.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 2.3.5.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 2.3.5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} \int - e^{u} d u + \int - \frac{2}{3} d x + \int \frac{x}{3} d x$

Schritt 2.3.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} (- \int e^{u} d u) + \int - \frac{2}{3} d x + \int \frac{x}{3} d x$

Schritt 2.3.7

Vereinfache.

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Schritt 2.3.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y + C_{1} = 1 (\frac{1}{3}) \int e^{u} d u + \int - \frac{2}{3} d x + \int \frac{x}{3} d x$

Schritt 2.3.7.2

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int e^{u} d u + \int - \frac{2}{3} d x + \int \frac{x}{3} d x$

Schritt 2.3.8

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (e^{u} + C_{2}) + \int - \frac{2}{3} d x + \int \frac{x}{3} d x$

Schritt 2.3.9

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (e^{u} + C_{2}) - \frac{2}{3} x + C_{3} + \int \frac{x}{3} d x$

Schritt 2.3.10

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (e^{u} + C_{2}) - \frac{2}{3} x + C_{3} + \frac{1}{3} \int x d x$

Schritt 2.3.11

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (e^{u} + C_{2}) - \frac{2}{3} x + C_{3} + \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$

Schritt 2.3.12

Vereinfache.

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Schritt 2.3.12.1

Vereinfache.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} e^{u} - \frac{2}{3} x + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{5}$

Schritt 2.3.12.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.12.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} e^{u} - \frac{2}{3} x + \frac{1}{3 \cdot 2} x^{2} + C_{5}$

Schritt 2.3.12.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} e^{u} - \frac{2}{3} x + \frac{1}{6} x^{2} + C_{5}$

Schritt 2.3.13

Ersetze alle $u$ durch $- x$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} e^{- x} - \frac{2}{3} x + \frac{1}{6} x^{2} + C_{5}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = \frac{1}{3} e^{- x} - \frac{2}{3} x + \frac{1}{6} x^{2} + K$