Analysis Beispiele

$x (y^{2} - 1) d y - y (x^{2} - 1) d x = 0$

Schritt 1

Addiere $y (x^{2} - 1) d x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x (y^{2} - 1) d y = y (x^{2} - 1) d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{1}{x y} (x (y^{2} - 1)) d y = \frac{1}{x y} (y (x^{2} - 1)) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x y$ heraus.

$\frac{1}{x (y)} (x (y^{2} - 1)) d y = \frac{1}{x y} (y (x^{2} - 1)) d x$

Schritt 3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{x y} (x (y^{2} - 1)) d y = \frac{1}{x y} (y (x^{2} - 1)) d x$

Schritt 3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} (y^{2} - 1) d y = \frac{1}{x y} (y (x^{2} - 1)) d x$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{y}$ mit $y^{2} - 1$ .

$\frac{y^{2} - 1}{y} d y = \frac{1}{x y} (y (x^{2} - 1)) d x$

Schritt 3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{y^{2} - 1^{2}}{y} d y = \frac{1}{x y} (y (x^{2} - 1)) d x$

Schritt 3.3.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = y$ und $b = 1$ .

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = \frac{1}{x y} (y (x^{2} - 1)) d x$

Schritt 3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $y$ aus $x y$ heraus.

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = \frac{1}{y x} (y (x^{2} - 1)) d x$

Schritt 3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = \frac{1}{y x} (y (x^{2} - 1)) d x$

Schritt 3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = \frac{1}{x} (x^{2} - 1) d x$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $x^{2} - 1$ .

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = \frac{x^{2} - 1}{x} d x$

Schritt 3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = \frac{x^{2} - 1^{2}}{x} d x$

Schritt 3.6.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

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Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

Schritt 4.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int \frac{y (y - 1) + 1 (y - 1)}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

Schritt 4.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int \frac{y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 (y - 1)}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

Schritt 4.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\int \frac{y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

Schritt 4.2.4

Stelle $y$ und $- 1$ um.

$\int \frac{y \cdot y - 1 \cdot y + 1 y + 1 \cdot - 1}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

Schritt 4.2.5

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\int \frac{y^{1} y - 1 y + 1 y + 1 \cdot - 1}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

Schritt 4.2.6

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\int \frac{y^{1} y^{1} - 1 y + 1 y + 1 \cdot - 1}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

Schritt 4.2.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int \frac{y^{1 + 1} - 1 y + 1 y + 1 \cdot - 1}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

Schritt 4.2.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.8.1

Addiere $1$ und $1$ .

$\int \frac{y^{2} - 1 y + 1 y + 1 \cdot - 1}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

Schritt 4.2.8.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$\int \frac{y^{2} - 1 y + y + 1 \cdot - 1}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

Schritt 4.2.8.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\int \frac{y^{2} - 1 y + y - 1}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

Schritt 4.2.9

Addiere $- 1 y$ und $y$ .

$\int \frac{y^{2} + 0 - 1}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

Schritt 4.2.10

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$\int \frac{y^{2} - 1}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

Schritt 4.2.11

Dividiere $y^{2} - 1$ durch $y$ .

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Schritt 4.2.11.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$y$

$0$

$y^{2}$

$0 y$

$1$

Schritt 4.2.11.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $y^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $y$ .

					$y$
	$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$0 y$	-	$1$

Schritt 4.2.11.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$0 y$	-	$1$
			+	$y^{2}$	+	$0$

Schritt 4.2.11.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $y^{2} + 0$

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$0 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$

Schritt 4.2.11.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$0 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
						$0$

Schritt 4.2.11.6

Ziehe den nächsten Term vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$0 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
						$0$	-	$1$

Schritt 4.2.11.7

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\int y - \frac{1}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

Schritt 4.2.12

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int y d y + \int - \frac{1}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

Schritt 4.2.13

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int - \frac{1}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

Schritt 4.2.14

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - \int \frac{1}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

Schritt 4.2.15

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - (\ln (| y |) + C_{2}) = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

Schritt 4.2.16

Vereinfache.

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x (x - 1) + 1 (x - 1)}{x} d x$

Schritt 4.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)}{x} d x$

Schritt 4.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1}{x} d x$

Schritt 4.3.4

Stelle $x$ und $- 1$ um.

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x \cdot x - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1}{x} d x$

Schritt 4.3.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x^{1} x - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{x} d x$

Schritt 4.3.6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x^{1} x^{1} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{x} d x$

Schritt 4.3.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x^{1 + 1} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{x} d x$

Schritt 4.3.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.8.1

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x^{2} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{x} d x$

Schritt 4.3.8.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x^{2} - 1 x + x + 1 \cdot - 1}{x} d x$

Schritt 4.3.8.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x^{2} - 1 x + x - 1}{x} d x$

Schritt 4.3.9

Addiere $- 1 x$ und $x$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x^{2} + 0 - 1}{x} d x$

Schritt 4.3.10

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x^{2} - 1}{x} d x$

Schritt 4.3.11

Dividiere $x^{2} - 1$ durch $x$ .

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Schritt 4.3.11.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

Schritt 4.3.11.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x$
	$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$

Schritt 4.3.11.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			+	$x^{2}$	+	$0$

Schritt 4.3.11.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{2} + 0$

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$

Schritt 4.3.11.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
						$0$

Schritt 4.3.11.6

Ziehe den nächsten Term vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
						$0$	-	$1$

Schritt 4.3.11.7

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int x - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.3.12

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int x d x + \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.3.13

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.3.14

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.3.15

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - (\ln (| x |) + C_{5})$

Schritt 4.3.16

Vereinfache.

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + C_{6}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) = \frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + C$