Analysis Beispiele

$x (\frac{d y}{d x}) = y + 2 x e^{- \frac{y}{x}}$

Schritt 1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d y}{d x} = y + 2 x e^{- \frac{y}{x}}$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d y}{d x} = y + 2 x e^{- \frac{y}{x}}$ durch $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y}{x} + \frac{2 x e^{- \frac{y}{x}}}{x}$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y}{x} + \frac{2 x e^{- \frac{y}{x}}}{x}$

Schritt 1.2.1.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{2 x e^{- \frac{y}{x}}}{x}$

Schritt 1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{2 x e^{- \frac{y}{x}}}{x}$

Schritt 1.3.1.2

Dividiere $2 e^{- \frac{y}{x}}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + 2 e^{- \frac{y}{x}}$

Schritt 2

Es gilt $V = \frac{y}{x}$ . Ersetze $V$ für $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V + 2 e^{- V}$

Schritt 3

Löse $V = \frac{y}{x}$ nach $y$ auf.

$y = V x$

Schritt 4

Verwende die Produktregel um die Ableitung von $y = V x$ nach $x$ zu finden.

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Schritt 5

Ersetze $\frac{d y}{d x}$ durch $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + 2 e^{- V}$

Schritt 6

Löse die substituierte Differentialgleichung.

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Schritt 6.1

Separiere die Variablen.

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Schritt 6.1.1

Löse nach $\frac{d V}{d x}$ auf.

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Schritt 6.1.1.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d V}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1.1.1.1

Subtrahiere $V$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \frac{d V}{d x} = V + 2 e^{- V} - V$

Schritt 6.1.1.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $V + 2 e^{- V} - V$ .

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Schritt 6.1.1.1.2.1

Subtrahiere $V$ von $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = 2 e^{- V} + 0$

Schritt 6.1.1.1.2.2

Addiere $2 e^{- V}$ und $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = 2 e^{- V}$

Schritt 6.1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d V}{d x} = 2 e^{- V}$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 6.1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d V}{d x} = 2 e^{- V}$ durch $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{2 e^{- V}}{x}$

Schritt 6.1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 6.1.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{2 e^{- V}}{x}$

Schritt 6.1.1.2.2.1.2

Dividiere $\frac{d V}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{2 e^{- V}}{x}$

Schritt 6.1.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{e^{- V}}$ .

$\frac{1}{e^{- V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{e^{- V}} \cdot \frac{2 e^{- V}}{x}$

Schritt 6.1.3

Vereinfache.

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Schritt 6.1.3.1

Kombinieren.

$\frac{1}{e^{- V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 (2 e^{- V})}{e^{- V} x}$

Schritt 6.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- V}$ .

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Schritt 6.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{e^{- V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 (2 e^{- V})}{e^{- V} x}$

Schritt 6.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{e^{- V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 \cdot (2)}{x}$

Schritt 6.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{1}{e^{- V}} \frac{d V}{d x} = \frac{2}{x}$

Schritt 6.1.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{e^{- V}} d V = \frac{2}{x} d x$

Schritt 6.2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 6.2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{e^{- V}} d V = \int \frac{2}{x} d x$

Schritt 6.2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.2.2.1.1

Kehre das Vorzeichen des Exponenten von $e^{- V}$ um und ziehe es aus dem Nenner heraus.

$\int 1 {(e^{- V})}^{- 1} d V = \int \frac{2}{x} d x$

Schritt 6.2.2.1.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.2.1.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{- V})}^{- 1}$ .

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Schritt 6.2.2.1.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{- V \cdot - 1} d V = \int \frac{2}{x} d x$

Schritt 6.2.2.1.2.1.2

Multipliziere $- V \cdot - 1$ .

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Schritt 6.2.2.1.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\int 1 e^{1 V} d V = \int \frac{2}{x} d x$

Schritt 6.2.2.1.2.1.2.2

Mutltipliziere $V$ mit $1$ .

$\int 1 e^{V} d V = \int \frac{2}{x} d x$

Schritt 6.2.2.1.2.2

Mutltipliziere $e^{V}$ mit $1$ .

$\int e^{V} d V = \int \frac{2}{x} d x$

Schritt 6.2.2.2

Das Integral von $e^{V}$ nach $V$ ist $e^{V}$ .

$e^{V} + C_{1} = \int \frac{2}{x} d x$

Schritt 6.2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 6.2.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$e^{V} + C_{1} = 2 \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.3.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$e^{V} + C_{1} = 2 (\ln (| x |) + C_{2})$

Schritt 6.2.3.3

Vereinfache.

$e^{V} + C_{1} = 2 \ln (| x |) + C_{2}$

Schritt 6.2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$e^{V} = 2 \ln (| x |) + C$

Schritt 6.3

Löse nach $V$ auf.

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Schritt 6.3.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{V}) = \ln (\ln (x^{2}) + C)$

Schritt 6.3.2

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 6.3.2.1

Zerlege $\ln (e^{V})$ durch Herausziehen von $V$ aus dem Logarithmus.

$V \ln (e) = \ln (\ln (x^{2}) + C)$

Schritt 6.3.2.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$V \cdot 1 = \ln (\ln (x^{2}) + C)$

Schritt 6.3.2.3

Mutltipliziere $V$ mit $1$ .

$V = \ln (\ln (x^{2}) + C)$

Schritt 6.3.3

Zerlege $\ln (x^{2})$ durch Herausziehen von $2$ aus dem Logarithmus.

$V = \ln (2 \ln (x) + C)$

Schritt 6.3.4

Vereinfache $2 \ln (x)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$V = \ln (\ln (x^{2}) + C)$

Schritt 7

Ersetze $V$ durch $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} = \ln (\ln (x^{2}) + C)$

Schritt 8

Löse $\frac{y}{x} = \ln (\ln (x^{2}) + C)$ nach $y$ auf.

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Schritt 8.1

Multipliziere beide Seiten mit $x$ .

$\frac{y}{x} x = \ln (\ln (x^{2}) + C) x$

Schritt 8.2

Vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 8.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{x} x = \ln (\ln (x^{2}) + C) x$

Schritt 8.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \ln (\ln (x^{2}) + C) x$

Schritt 8.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.2.1

Stelle die Faktoren in $\ln (\ln (x^{2}) + C) x$ um.

$y = x \ln (\ln (x^{2}) + C)$