Analysis Beispiele

$y^{5} \frac{d y}{d x} = 3 x^{4} y^{6} - 6 x^{4}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Faktorisiere $3 x^{4}$ aus $3 x^{4} y^{6} - 6 x^{4}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Faktorisiere $3 x^{4}$ aus $3 x^{4} y^{6}$ heraus.

$y^{5} \frac{d y}{d x} = 3 x^{4} (y^{6}) - 6 x^{4}$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $3 x^{4}$ aus $- 6 x^{4}$ heraus.

$y^{5} \frac{d y}{d x} = 3 x^{4} (y^{6}) + 3 x^{4} (- 2)$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $3 x^{4}$ aus $3 x^{4} (y^{6}) + 3 x^{4} (- 2)$ heraus.

$y^{5} \frac{d y}{d x} = 3 x^{4} (y^{6} - 2)$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y^{6} - 2}$ .

$\frac{1}{y^{6} - 2} (y^{5} \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{y^{6} - 2} (3 x^{4} (y^{6} - 2))$

Schritt 1.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{y^{6} - 2} (y^{5} \frac{d y}{d x}) = 3 \frac{1}{y^{6} - 2} (x^{4} (y^{6} - 2))$

Schritt 1.3.2

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{y^{6} - 2}$ .

$\frac{1}{y^{6} - 2} (y^{5} \frac{d y}{d x}) = \frac{3}{y^{6} - 2} (x^{4} (y^{6} - 2))$

Schritt 1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{6} - 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.3.1

Faktorisiere $y^{6} - 2$ aus $x^{4} (y^{6} - 2)$ heraus.

$\frac{1}{y^{6} - 2} (y^{5} \frac{d y}{d x}) = \frac{3}{y^{6} - 2} ((y^{6} - 2) x^{4})$

Schritt 1.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y^{6} - 2} (y^{5} \frac{d y}{d x}) = \frac{3}{y^{6} - 2} ((y^{6} - 2) x^{4})$

Schritt 1.3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y^{6} - 2} (y^{5} \frac{d y}{d x}) = 3 x^{4}$

Schritt 1.4

Entferne unnötige Klammern.

$\frac{1}{y^{6} - 2} y^{5} \frac{d y}{d x} = 3 x^{4}$

Schritt 1.5

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y^{6} - 2} y^{5} d y = 3 x^{4} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y^{6} - 2} y^{5} d y = \int 3 x^{4} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Kombiniere $\frac{1}{y^{6} - 2}$ und $y^{5}$ .

$\int \frac{y^{5}}{y^{6} - 2} d y = \int 3 x^{4} d x$

Schritt 2.2.2

Sei $u = y^{6} - 2$ . Dann ist $d u = 6 y^{5} d y$ , folglich $\frac{1}{6} d u = y^{5} d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1

Es sei $u = y^{6} - 2$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1.1

Differenziere $y^{6} - 2$ .

$\frac{d}{d y} [y^{6} - 2]$

Schritt 2.2.2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{6} - 2$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y^{6}] + \frac{d}{d y} [- 2]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{6}] + \frac{d}{d y} [- 2]$

Schritt 2.2.2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 6$ .

$6 y^{5} + \frac{d}{d y} [- 2]$

Schritt 2.2.2.1.4

Da $- 2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$6 y^{5} + 0$

Schritt 2.2.2.1.5

Addiere $6 y^{5}$ und $0$ .

$6 y^{5}$

Schritt 2.2.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{6} d u = \int 3 x^{4} d x$

Schritt 2.2.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{6}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 6} d u = \int 3 x^{4} d x$

Schritt 2.2.3.2

Bringe $6$ auf die linke Seite von $u$ .

$\int \frac{1}{6 u} d u = \int 3 x^{4} d x$

Schritt 2.2.4

Da $\frac{1}{6}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{6}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{6} \int \frac{1}{u} d u = \int 3 x^{4} d x$

Schritt 2.2.5

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{6} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int 3 x^{4} d x$

Schritt 2.2.6

Vereinfache.

$\frac{1}{6} \ln (| u |) + C_{1} = \int 3 x^{4} d x$

Schritt 2.2.7

Ersetze alle $u$ durch $y^{6} - 2$ .

$\frac{1}{6} \ln (| y^{6} - 2 |) + C_{1} = \int 3 x^{4} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$\frac{1}{6} \ln (| y^{6} - 2 |) + C_{1} = 3 \int x^{4} d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{1}{6} \ln (| y^{6} - 2 |) + C_{1} = 3 (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.1

Schreibe $3 (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2})$ als $3 (\frac{1}{5}) x^{5} + C_{2}$ um.

$\frac{1}{6} \ln (| y^{6} - 2 |) + C_{1} = 3 (\frac{1}{5}) x^{5} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{6} \ln (| y^{6} - 2 |) + C_{1} = \frac{3}{5} x^{5} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\frac{1}{6} \ln (| y^{6} - 2 |) = \frac{3}{5} x^{5} + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $6$ .

$6 (\frac{1}{6} \ln (| y^{6} - 2 |)) = 6 (\frac{3}{5} x^{5} + C)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $6 (\frac{1}{6} \ln (| y^{6} - 2 |))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $\ln (| y^{6} - 2 |)$ .

$6 \frac{\ln (| y^{6} - 2 |)}{6} = 6 (\frac{3}{5} x^{5} + C)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 \frac{\ln (| y^{6} - 2 |)}{6} = 6 (\frac{3}{5} x^{5} + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| y^{6} - 2 |) = 6 (\frac{3}{5} x^{5} + C)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $6 (\frac{3}{5} x^{5} + C)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1.1

Kombiniere $\frac{3}{5}$ und $x^{5}$ .

$\ln (| y^{6} - 2 |) = 6 (\frac{3 x^{5}}{5} + C)$

Schritt 3.2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| y^{6} - 2 |) = 6 \frac{3 x^{5}}{5} + 6 C$

Schritt 3.2.2.1.3

Multipliziere $6 \frac{3 x^{5}}{5}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1.3.1

Kombiniere $6$ und $\frac{3 x^{5}}{5}$ .

$\ln (| y^{6} - 2 |) = \frac{6 (3 x^{5})}{5} + 6 C$

Schritt 3.2.2.1.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $6$ .

$\ln (| y^{6} - 2 |) = \frac{18 x^{5}}{5} + 6 C$

Schritt 3.3

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| y^{6} - 2 |)} = e^{\frac{18 x^{5}}{5} + 6 C}$

Schritt 3.4

Schreibe $\ln (| y^{6} - 2 |) = \frac{18 x^{5}}{5} + 6 C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{18 x^{5}}{5} + 6 C} = | y^{6} - 2 |$

Schritt 3.5

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1

Schreibe die Gleichung als $| y^{6} - 2 | = e^{\frac{18 x^{5}}{5} + 6 C}$ um.

$| y^{6} - 2 | = e^{\frac{18 x^{5}}{5} + 6 C}$

Schritt 3.5.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y^{6} - 2 = \pm e^{\frac{18 x^{5}}{5} + 6 C}$

Schritt 3.5.3

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y^{6} = \pm e^{\frac{18 x^{5}}{5} + 6 C} + 2$

Schritt 3.5.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt[6]{\pm e^{\frac{18 x^{5}}{5} + 6 C} + 2}$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \pm \sqrt[6]{\pm e^{\frac{18 x^{5}}{5} + C} + 2}$

Schritt 4.2

Schreibe $e^{\frac{18 x^{5}}{5} + C}$ als $e^{\frac{18 x^{5}}{5}} e^{C}$ um.

$y = \pm \sqrt[6]{\pm e^{\frac{18 x^{5}}{5}} e^{C} + 2}$

Schritt 4.3

Stelle $e^{\frac{18 x^{5}}{5}}$ und $e^{C}$ um.

$y = \pm \sqrt[6]{\pm e^{C} e^{\frac{18 x^{5}}{5}} + 2}$

Schritt 4.4

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = \pm \sqrt[6]{C e^{\frac{18 x^{5}}{5}} + 2}$