Analysis Beispiele

$\frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y) d x + (y - x) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)]$

Schritt 1.2

Da $\frac{1}{x^{2}}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$ nach $y$ gleich $\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d y} [1 - x^{2} y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d y} [1 - x^{2} y]$

Schritt 1.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x^{2} y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- x^{2} y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x^{2}} (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- x^{2} y])$

Schritt 1.4

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x^{2}} (0 + \frac{d}{d y} [- x^{2} y])$

Schritt 1.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d y} [- x^{2} y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d y} [- x^{2} y]$

Schritt 1.6

Da $- x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2} y$ nach $y$ gleich $- x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x^{2}} (- x^{2} \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 1.7

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.7.1

Kombiniere $\frac{1}{x^{2}}$ und $x^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{x^{2}}{x^{2}} \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 1.7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{x^{2}}{x^{2}} \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.7.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1 \cdot 1 \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.7.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1 \cdot 1$

Schritt 1.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = y - x$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y - x]$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.2.2

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 1 \cdot 1$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 1$

Schritt 2.4

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $- 1$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $- 1$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$- 1 = - 1$

Schritt 3.2

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$- 1 = - 1$ ist eine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y - x d y$

Schritt 5

Integriere $N (x, y) = y - x$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 5.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$f (x, y) = \int y d y + \int - x d y$

Schritt 5.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + C + \int - x d y$

Schritt 5.3

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + C - x y + C$

Schritt 5.4

Vereinfache.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - x y + C$

Schritt 6

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - x y + g (x)$

Schritt 7

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

Schritt 8

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 8.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2} - x y + g (x)] = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

Schritt 8.2

Differenziere.

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Schritt 8.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{2} y^{2} - x y + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

Schritt 8.2.2

Da $\frac{1}{2} y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{2} y^{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

Schritt 8.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

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Schritt 8.3.1

Da $- y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x y$ nach $x$ gleich $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

Schritt 8.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

Schritt 8.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$0 - y + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

Schritt 8.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$0 - y + \frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

Schritt 8.5

Vereinfache.

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Schritt 8.5.1

Subtrahiere $y$ von $0$ .

$- y + \frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

Schritt 8.5.2

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} - y = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

Schritt 9

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 9.1

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 9.1.1

Vereinfache $\frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$ .

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Schritt 9.1.1.1

Forme um.

$\frac{d g}{d x} - y = 0 + 0 + \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

Schritt 9.1.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$\frac{d g}{d x} - y = \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2} y)$

Schritt 9.1.1.3

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{2}}$ mit $1 - x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d x} - y = \frac{1 - x^{2} y}{x^{2}}$

Schritt 9.1.2

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 9.1.2.1

Addiere $y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} = \frac{1 - x^{2} y}{x^{2}} + y$

Schritt 9.1.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1.2.2.1

Zerlege den Bruch $\frac{1 - x^{2} y}{x^{2}}$ in zwei Brüche.

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{- x^{2} y}{x^{2}} + y$

Schritt 9.1.2.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 9.1.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{- x^{2} y}{x^{2}} + y$

Schritt 9.1.2.2.2.1.2

Dividiere $- 1 y$ durch $1$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} - 1 y + y$

Schritt 9.1.2.2.2.2

Schreibe $- 1 y$ als $- y$ um.

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} - y + y$

Schritt 9.1.2.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\frac{1}{x^{2}} - y + y$ .

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Schritt 9.1.2.3.1

Addiere $- y$ und $y$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} + 0$

Schritt 9.1.2.3.2

Addiere $\frac{1}{x^{2}}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 10

Bestimme die Stammfunktion von $\frac{1}{x^{2}}$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 10.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 10.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 10.3

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$g (x) = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 10.4

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 10.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (x) = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 10.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$g (x) = \int x^{- 2} d x$

Schritt 10.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$g (x) = - x^{- 1} + C$

Schritt 10.6

Schreibe $- x^{- 1} + C$ als $- \frac{1}{x} + C$ um.

$g (x) = - \frac{1}{x} + C$

Schritt 11

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - x y + g (x)$ ein.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - x y - \frac{1}{x} + C$

Schritt 12

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} - x y - \frac{1}{x} + C$