Analysis Beispiele

$x \frac{d y}{d x} - 2 y = x^{3} e^{x}$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ um.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d y}{d x} - 2 y = x^{3} e^{x}$ durch $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x^{3} e^{x}}{x}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x^{3} e^{x}}{x}$

Schritt 1.2.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x^{3} e^{x}}{x}$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{3}$ und $x$ .

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Schritt 1.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3} e^{x}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x (x^{2} e^{x})}{x}$

Schritt 1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x (x^{2} e^{x})}{x^{1}}$

Schritt 1.3.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x (x^{2} e^{x})}{x \cdot 1}$

Schritt 1.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x (x^{2} e^{x})}{x \cdot 1}$

Schritt 1.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x^{2} e^{x}}{1}$

Schritt 1.3.2.5

Dividiere $x^{2} e^{x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = x^{2} e^{x}$

Schritt 1.4

Faktorisiere $y$ aus $\frac{- 2 y}{x}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 2}{x} = x^{2} e^{x}$

Schritt 1.5

Stelle $y$ und $\frac{- 2}{x}$ um.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2}{x} y = x^{2} e^{x}$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = \frac{- 2}{x}$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int \frac{- 2}{x} d x}$

Schritt 2.2

Integriere $\frac{- 2}{x}$ .

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Schritt 2.2.1

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Schritt 2.2.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Schritt 2.2.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 2.2.5

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Schritt 2.2.6

Vereinfache.

$e^{- 2 \ln (| x |) + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{- 2 \ln (x)}$

Schritt 2.4

Verwende die Potenzregel des Logarithmus.

$e^{\ln (x^{- 2})}$

Schritt 2.5

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$x^{- 2}$

Schritt 2.6

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\frac{1}{x^{2}}$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{2}} (\frac{- 2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} e^{x})$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $\frac{1}{x^{2}}$ und $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (\frac{- 2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} e^{x})$

Schritt 3.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} e^{x})$

Schritt 3.2.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} (\frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} e^{x})$

Schritt 3.2.4

Kombiniere $\frac{2}{x}$ und $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} e^{x})$

Schritt 3.2.5

Multipliziere $- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x}$ .

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Schritt 3.2.5.1

Mutltipliziere $\frac{2 y}{x}$ mit $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x \cdot x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} e^{x})$

Schritt 3.2.5.2

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.5.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 3.2.5.2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1} x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} e^{x})$

Schritt 3.2.5.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1 + 2}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} e^{x})$

Schritt 3.2.5.2.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} e^{x})$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} e^{x}$ heraus.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} (e^{x}))$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} e^{x})$

Schritt 3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = e^{x}$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] = e^{x}$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] d x = \int e^{x} d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$\frac{1}{x^{2}} y = \int e^{x} d x$

Schritt 7

Das Integral von $e^{x}$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = e^{x} + C$

Schritt 8

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 8.1

Kombiniere $\frac{1}{x^{2}}$ und $y$ .

$\frac{y}{x^{2}} = e^{x} + C$

Schritt 8.2

Multipliziere beide Seiten mit $x^{2}$ .

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (e^{x} + C) x^{2}$

Schritt 8.3

Vereinfache.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 8.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (e^{x} + C) x^{2}$

Schritt 8.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = (e^{x} + C) x^{2}$

Schritt 8.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.2.1

Vereinfache $(e^{x} + C) x^{2}$ .

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Schritt 8.3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = e^{x} x^{2} + C x^{2}$

Schritt 8.3.2.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.3.2.1.2.1

Stelle die Faktoren in $e^{x} x^{2} + C x^{2}$ um.

$y = x^{2} e^{x} + C x^{2}$

Schritt 8.3.2.1.2.2

Stelle $x^{2} e^{x}$ und $C x^{2}$ um.

$y = C x^{2} + x^{2} e^{x}$