Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x + y}{x}$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ um.

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Schritt 1.1

Schreibe die Gleichung als $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ um.

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Schritt 1.1.1

Zerlege den Bruch $\frac{x + y}{x}$ in zwei Brüche.

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{x}{x} + \frac{y}{x})$

Schritt 1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{x} - \frac{y}{x}$

Schritt 1.1.3

Addiere $\frac{y}{x}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = - \frac{x}{x}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $y$ aus $\frac{y}{x}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x} = - \frac{x}{x}$

Schritt 1.3

Stelle $y$ und $\frac{1}{x}$ um.

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = - \frac{x}{x}$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = \frac{1}{x}$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 2.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$e^{\ln (| x |) + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{\ln (x)}$

Schritt 2.4

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$x$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $x$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + x (\frac{1}{x} y) = x (- \frac{x}{x})$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $y$ .

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x (- \frac{x}{x})$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x (- \frac{x}{x})$

Schritt 3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x \frac{d y}{d x} + y = x (- \frac{x}{x})$

Schritt 3.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x \frac{d y}{d x} + y = - x \frac{x}{x}$

Schritt 3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x \frac{d y}{d x} + y = - x \frac{x}{x}$

Schritt 3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x \frac{d y}{d x} + y = - x \cdot 1$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $- x$ mit $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + y = - x$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [x y] = - x$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int - x d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$x y = \int - x d x$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$x y = - \int x d x$

Schritt 7.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x y = - (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 7.3

Schreibe $- (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ als $- \frac{1}{2} x^{2} + C$ um.

$x y = - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $x y = - \frac{1}{2} x^{2} + C$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $x y = - \frac{1}{2} x^{2} + C$ durch $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{- \frac{1}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y}{x} = \frac{- \frac{1}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- \frac{1}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 8.3.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $- \frac{1}{2} x^{2}$ heraus.

$y = \frac{x (- \frac{1}{2} x)}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 8.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.1.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y = \frac{x (- \frac{1}{2} x)}{x^{1}} + \frac{C}{x}$

Schritt 8.3.1.1.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$y = \frac{x (- \frac{1}{2} x)}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Schritt 8.3.1.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{x (- \frac{1}{2} x)}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Schritt 8.3.1.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{- \frac{1}{2} x}{1} + \frac{C}{x}$

Schritt 8.3.1.1.2.5

Dividiere $- \frac{1}{2} x$ durch $1$ .

$y = - \frac{1}{2} x + \frac{C}{x}$

Schritt 8.3.1.2

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{x}{2} + \frac{C}{x}$