Analysis Beispiele

$\frac{1}{y} d x + 3 y d y = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{1}{y} d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 y d y = - \frac{1}{y} d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $y$ .

$y (3 y) d y = y (- \frac{1}{y}) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 y \cdot y d y = y (- \frac{1}{y}) d x$

Schritt 3.2

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.1

Bewege $y$ .

$3 (y \cdot y) d y = y (- \frac{1}{y}) d x$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$3 y^{2} d y = y (- \frac{1}{y}) d x$

Schritt 3.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 y^{2} d y = - y \frac{1}{y} d x$

Schritt 3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $y$ aus $- y$ heraus.

$3 y^{2} d y = y \cdot - 1 \frac{1}{y} d x$

Schritt 3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 y^{2} d y = y \cdot - 1 \frac{1}{y} d x$

Schritt 3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$3 y^{2} d y = - 1 d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

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Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int 3 y^{2} d y = \int - 1 d x$

Schritt 4.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int y^{2} d y = \int - 1 d x$

Schritt 4.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) = \int - 1 d x$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.2.3.1

Schreibe $3 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1})$ als $3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C_{1}$ um.

$3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C_{1} = \int - 1 d x$

Schritt 4.2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.3.2.1

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} y^{3} + C_{1} = \int - 1 d x$

Schritt 4.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{3} y^{3} + C_{1} = \int - 1 d x$

Schritt 4.2.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 y^{3} + C_{1} = \int - 1 d x$

Schritt 4.2.3.2.3

Mutltipliziere $y^{3}$ mit $1$ .

$y^{3} + C_{1} = \int - 1 d x$

Schritt 4.3

Wende die Konstantenregel an.

$y^{3} + C_{1} = - x + C_{2}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y^{3} = - x + K$

Schritt 5

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \sqrt[3]{- x + K}$