Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 y^{2}}{x}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{6 y^{2}}{x}$

Schritt 1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Kombinieren.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 (6 y^{2})}{y^{2} x}$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 (6 y^{2})}{y^{2} x}$

Schritt 1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot (6)}{x}$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{x}$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{6}{x} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int \frac{6}{x} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.2.1.1

Bringe $y^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int \frac{6}{x} d x$

Schritt 2.2.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int \frac{6}{x} d x$

Schritt 2.2.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int \frac{6}{x} d x$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{- 2}$ nach $y$ gleich $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int \frac{6}{x} d x$

Schritt 2.2.3

Schreibe $- y^{- 1} + C_{1}$ als $- \frac{1}{y} + C_{1}$ um.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{6}{x} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 6 \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 6 (\ln (| x |) + C_{2})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 6 \ln (| x |) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$- \frac{1}{y} = 6 \ln (| x |) + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Vereinfache $6 \ln (| x |)$ , indem du $6$ in den Logarithmus ziehst.

$- \frac{1}{y} = \ln ({| x |}^{6}) + C$

Schritt 3.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$y, 1, 1$

Schritt 3.2.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$y$

Schritt 3.3

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{y} = \ln ({| x |}^{6}) + C$ mit $y$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{y} = \ln ({| x |}^{6}) + C$ mit $y$ .

$- \frac{1}{y} y = \ln ({| x |}^{6}) y + C y$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{y}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{y} y = \ln ({| x |}^{6}) y + C y$

Schritt 3.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{y} y = \ln ({| x |}^{6}) y + C y$

Schritt 3.3.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1 = \ln ({| x |}^{6}) y + C y$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Entferne den Absolutwert in ${| x |}^{6}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$- 1 = \ln (x^{6}) y + C y$

Schritt 3.3.3.2

Stelle die Faktoren in $\ln (x^{6}) y + C y$ um.

$- 1 = y \ln (x^{6}) + C y$

Schritt 3.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Schreibe die Gleichung als $y \ln (x^{6}) + C y = - 1$ um.

$y \ln (x^{6}) + C y = - 1$

Schritt 3.4.2

Faktorisiere $y$ aus $y \ln (x^{6}) + C y$ heraus.

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Schritt 3.4.2.1

Faktorisiere $y$ aus $y \ln (x^{6})$ heraus.

$y (\ln (x^{6})) + C y = - 1$

Schritt 3.4.2.2

Faktorisiere $y$ aus $C y$ heraus.

$y (\ln (x^{6})) + y C = - 1$

Schritt 3.4.2.3

Faktorisiere $y$ aus $y (\ln (x^{6})) + y C$ heraus.

$y (\ln (x^{6}) + C) = - 1$

Schritt 3.4.3

Teile jeden Ausdruck in $y (\ln (x^{6}) + C) = - 1$ durch $\ln (x^{6}) + C$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y (\ln (x^{6}) + C) = - 1$ durch $\ln (x^{6}) + C$ .

$\frac{y (\ln (x^{6}) + C)}{\ln (x^{6}) + C} = \frac{- 1}{\ln (x^{6}) + C}$

Schritt 3.4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (x^{6}) + C$ .

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Schritt 3.4.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (\ln (x^{6}) + C)}{\ln (x^{6}) + C} = \frac{- 1}{\ln (x^{6}) + C}$

Schritt 3.4.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 1}{\ln (x^{6}) + C}$

Schritt 3.4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{1}{\ln (x^{6}) + C}$