Analysis Beispiele

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 3 \frac{d y}{d x} + 2 y = 3 x^{2} + 5$

Schritt 1

Nimm an, alle Lösungen haben die Form $y = e^{r x}$ .

Schritt 2

Ermittle die charakteristische Gleichung für $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 3 \frac{d y}{d x} + 2 y = 3 x^{2} + 5$ .

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

$\frac{d y}{d x} = r e^{r x}$

Schritt 2.2

Bestimme die zweite Ableitung.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = r^{2} e^{r x}$

Schritt 2.3

Setze in die Differentialgleichung ein.

$r^{2} e^{r x} - 3 (r e^{r x}) + 2 e^{r x} = 3 x^{2} + 5$

Schritt 2.4

Entferne die Klammern.

$r^{2} e^{r x} - 3 r e^{r x} + 2 e^{r x} = 3 x^{2} + 5$

Schritt 2.5

Faktorisiere $e^{r x}$ aus.

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Schritt 2.5.1

Faktorisiere $e^{r x}$ aus $r^{2} e^{r x}$ heraus.

$e^{r x} r^{2} - 3 r e^{r x} + 2 e^{r x} = 3 x^{2} + 5$

Schritt 2.5.2

Faktorisiere $e^{r x}$ aus $- 3 r e^{r x}$ heraus.

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} (- 3 r) + 2 e^{r x} = 3 x^{2} + 5$

Schritt 2.5.3

Faktorisiere $e^{r x}$ aus $e^{r x} r^{2} + e^{r x} (- 3 r)$ heraus.

$e^{r x} (r^{2} - 3 r) + 2 e^{r x} = 3 x^{2} + 5$

Schritt 2.5.4

Faktorisiere $e^{r x}$ aus $2 e^{r x}$ heraus.

$e^{r x} (r^{2} - 3 r) + e^{r x} \cdot 2 = 3 x^{2} + 5$

Schritt 2.5.5

Faktorisiere $e^{r x}$ aus $e^{r x} (r^{2} - 3 r) + e^{r x} \cdot 2$ heraus.

$e^{r x} (r^{2} - 3 r + 2) = 3 x^{2} + 5$

Schritt 2.6

Da Exponentialfunktionen nie null sein können, teile beide Seiten durch $e^{r x}$ .

$r^{2} - 3 r + 2 = 3 x^{2} + 5$

Schritt 3

Löse nach $r$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 3.1.1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1.1

Subtrahiere $3 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$r^{2} - 3 r + 2 - 3 x^{2} = 5$

Schritt 3.1.1.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$r^{2} - 3 r + 2 - 3 x^{2} - 5 = 0$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $5$ von $2$ .

$r^{2} - 3 r - 3 x^{2} - 3 = 0$

Schritt 3.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.3

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 3$ und $c = - 3 x^{2} - 3$ in die Quadratformel ein und löse nach $r$ auf.

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 3 x^{2} - 3))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot (- 3 x^{2} - 3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot (- 3 x^{2} - 3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 4$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 12 x^{2} - 4 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 3$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 12 x^{2} + 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.6

Addiere $9$ und $12$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{12 x^{2} + 21}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.7

Faktorisiere $3$ aus $12 x^{2} + 21$ heraus.

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Schritt 3.4.1.7.1

Faktorisiere $3$ aus $12 x^{2}$ heraus.

$r = \frac{3 \pm \sqrt{3 (4 x^{2}) + 21}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.7.2

Faktorisiere $3$ aus $21$ heraus.

$r = \frac{3 \pm \sqrt{3 (4 x^{2}) + 3 (7)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.1.7.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (4 x^{2}) + 3 (7)$ heraus.

$r = \frac{3 \pm \sqrt{3 (4 x^{2} + 7)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{3 (4 x^{2} + 7)}}{2}$

Schritt 3.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 3.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot (- 3 x^{2} - 3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot (- 3 x^{2} - 3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.1.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 4$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 12 x^{2} - 4 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.1.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 3$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 12 x^{2} + 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.1.6

Addiere $9$ und $12$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{12 x^{2} + 21}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.1.7

Faktorisiere $3$ aus $12 x^{2} + 21$ heraus.

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Schritt 3.5.1.7.1

Faktorisiere $3$ aus $12 x^{2}$ heraus.

$r = \frac{3 \pm \sqrt{3 (4 x^{2}) + 21}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.1.7.2

Faktorisiere $3$ aus $21$ heraus.

$r = \frac{3 \pm \sqrt{3 (4 x^{2}) + 3 (7)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.1.7.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (4 x^{2}) + 3 (7)$ heraus.

$r = \frac{3 \pm \sqrt{3 (4 x^{2} + 7)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{3 (4 x^{2} + 7)}}{2}$

Schritt 3.5.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$r = \frac{3 + \sqrt{3 (4 x^{2} + 7)}}{2}$

Schritt 3.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 3.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot (- 3 x^{2} - 3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot (- 3 x^{2} - 3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 4$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 12 x^{2} - 4 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 3$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 12 x^{2} + 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.6

Addiere $9$ und $12$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{12 x^{2} + 21}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.7

Faktorisiere $3$ aus $12 x^{2} + 21$ heraus.

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Schritt 3.6.1.7.1

Faktorisiere $3$ aus $12 x^{2}$ heraus.

$r = \frac{3 \pm \sqrt{3 (4 x^{2}) + 21}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.7.2

Faktorisiere $3$ aus $21$ heraus.

$r = \frac{3 \pm \sqrt{3 (4 x^{2}) + 3 (7)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.1.7.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (4 x^{2}) + 3 (7)$ heraus.

$r = \frac{3 \pm \sqrt{3 (4 x^{2} + 7)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{3 (4 x^{2} + 7)}}{2}$

Schritt 3.6.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$r = \frac{3 - \sqrt{3 (4 x^{2} + 7)}}{2}$

Schritt 3.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$r = \frac{3 + \sqrt{3 (4 x^{2} + 7)}}{2}$

$r = \frac{3 - \sqrt{3 (4 x^{2} + 7)}}{2}$

$r = \frac{3 + \sqrt{3 (4 x^{2} + 7)}}{2}$

$r = \frac{3 - \sqrt{3 (4 x^{2} + 7)}}{2}$

Schritt 4

Mit den beiden gefundenen Werten von $r$ lassen sich zwei Lösungen entwickeln.

$y_{1} = e^{\frac{3 + \sqrt{3 (4 x^{2} + 7)}}{2} x}$

$y_{2} = e^{\frac{3 - \sqrt{3 (4 x^{2} + 7)}}{2} x}$

Schritt 5

Gemäß dem Überlagerungsprinzip ist die allgemeine Lösung eine Linearkombination von zwei Lösungen für eine homogene lineare Differenzialgleichung zweiter Ordnung.

$y = c_{1} e^{\frac{3 + \sqrt{3 (4 x^{2} + 7)}}{2} x} + c_{2} e^{\frac{3 - \sqrt{3 (4 x^{2} + 7)}}{2} x}$

Schritt 6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1

Kombiniere $\frac{3 + \sqrt{3 (4 x^{2} + 7)}}{2}$ und $x$ .

$y = c_{1} e^{\frac{(3 + \sqrt{3 (4 x^{2} + 7)}) x}{2}} + c_{2} e^{\frac{3 - \sqrt{3 (4 x^{2} + 7)}}{2} x}$

Schritt 6.2

Kombiniere $\frac{3 - \sqrt{3 (4 x^{2} + 7)}}{2}$ und $x$ .

$y = c_{1} e^{\frac{(3 + \sqrt{3 (4 x^{2} + 7)}) x}{2}} + c_{2} e^{\frac{(3 - \sqrt{3 (4 x^{2} + 7)}) x}{2}}$