Analysis Beispiele

$\frac{\sin (x)}{1 + y} \cdot \frac{d y}{d x} = \cos (x)$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Löse nach $\frac{d y}{d x}$ auf.

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Schritt 1.1.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.1.1

Vereinfache $\frac{\sin (x)}{1 + y} \frac{d y}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1.1.1

Kombiniere $\frac{\sin (x)}{1 + y}$ und $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{1 + y} = \cos (x)$

Schritt 1.1.1.1.2

Stelle die Faktoren in $\frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{1 + y}$ um.

$\frac{\frac{d y}{d x} \sin (x)}{1 + y} = \cos (x)$

Schritt 1.1.2

Multipliziere beide Seiten mit $1 + y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} \sin (x)}{1 + y} (1 + y) = \cos (x) (1 + y)$

Schritt 1.1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.1.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + y$ .

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Schritt 1.1.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{d y}{d x} \sin (x)}{1 + y} (1 + y) = \cos (x) (1 + y)$

Schritt 1.1.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} \sin (x) = \cos (x) (1 + y)$

Schritt 1.1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.3.2.1

Vereinfache $\cos (x) (1 + y)$ .

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Schritt 1.1.3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d y}{d x} \sin (x) = \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) y$

Schritt 1.1.3.2.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.3.2.1.2.1

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} \sin (x) = \cos (x) + \cos (x) y$

Schritt 1.1.3.2.1.2.2

Stelle die Faktoren in $\cos (x) + \cos (x) y$ um.

$\frac{d y}{d x} \sin (x) = \cos (x) + y \cos (x)$

Schritt 1.1.3.2.1.2.3

Stelle $\cos (x)$ und $y \cos (x)$ um.

$\frac{d y}{d x} \sin (x) = y \cos (x) + \cos (x)$

Schritt 1.1.4

Teile jeden Ausdruck in $\frac{d y}{d x} \sin (x) = y \cos (x) + \cos (x)$ durch $\sin (x)$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.4.1

Teile jeden Ausdruck in $\frac{d y}{d x} \sin (x) = y \cos (x) + \cos (x)$ durch $\sin (x)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} \sin (x)}{\sin (x)} = \frac{y \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 1.1.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x)$ .

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Schritt 1.1.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{d y}{d x} \sin (x)}{\sin (x)} = \frac{y \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 1.1.4.2.1.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 1.1.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.4.3.1.1

Separiere Brüche.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 1.1.4.3.1.2

Wandle von $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ nach $\cot (x)$ um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{1} \cot (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 1.1.4.3.1.3

Dividiere $y$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = y \cot (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 1.1.4.3.1.4

Wandle von $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ nach $\cot (x)$ um.

$\frac{d y}{d x} = y \cot (x) + \cot (x)$

Schritt 1.2

Faktorisiere $\cot (x)$ aus $y \cot (x) + \cot (x)$ heraus.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $\cot (x)$ aus $y \cot (x)$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \cot (x) y + \cot (x)$

Schritt 1.2.2

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \cot (x) y + \cot (x) \cdot 1$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $\cot (x)$ aus $\cot (x) y + \cot (x) \cdot 1$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \cot (x) (y + 1)$

Schritt 1.3

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y + 1}$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} (\cot (x) (y + 1))$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y + 1$ .

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Schritt 1.4.1

Faktorisiere $y + 1$ aus $\cot (x) (y + 1)$ heraus.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} ((y + 1) \cot (x))$

Schritt 1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} ((y + 1) \cot (x))$

Schritt 1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \cot (x)$

Schritt 1.5

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y + 1} d y = \cot (x) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y + 1} d y = \int \cot (x) d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Sei $u = y + 1$ . Dann ist $d u = d y$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.2.1.1

Es sei $u = y + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Differenziere $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Schritt 2.2.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y + 1$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 2.2.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 2.2.1.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 2.2.1.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{u} d u = \int \cot (x) d x$

Schritt 2.2.2

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \cot (x) d x$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y + 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int \cot (x) d x$

Schritt 2.3

Das Integral von $\cot (x)$ nach $x$ ist $\ln (| \sin (x) |)$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \ln (| \sin (x) |) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y + 1 |) = \ln (| \sin (x) |) + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| y + 1 |) - \ln (| \sin (x) |) = C$

Schritt 3.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y + 1 |}{| \sin (x) |}) = C$

Schritt 3.3

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (\frac{| y + 1 |}{| \sin (x) |})} = e^{C}$

Schritt 3.4

Schreibe $\ln (\frac{| y + 1 |}{| \sin (x) |}) = C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y + 1 |}{| \sin (x) |}$

Schritt 3.5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.5.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{| y + 1 |}{| \sin (x) |} = e^{C}$ um.

$\frac{| y + 1 |}{| \sin (x) |} = e^{C}$

Schritt 3.5.2

Multipliziere beide Seiten mit $| \sin (x) |$ .

$\frac{| y + 1 |}{| \sin (x) |} | \sin (x) | = e^{C} | \sin (x) |$

Schritt 3.5.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $| \sin (x) |$ .

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Schritt 3.5.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{| y + 1 |}{| \sin (x) |} | \sin (x) | = e^{C} | \sin (x) |$

Schritt 3.5.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$| y + 1 | = e^{C} | \sin (x) |$

Schritt 3.5.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.5.4.1

Stelle die Faktoren in $e^{C} | \sin (x) |$ um.

$| y + 1 | = | \sin (x) | e^{C}$

Schritt 3.5.4.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y + 1 = \pm | \sin (x) | e^{C}$

Schritt 3.5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.4.3.1

Stelle die Faktoren in $\pm | \sin (x) | e^{C}$ um.

$y + 1 = \pm e^{C} | \sin (x) |$

Schritt 3.5.4.4

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = \pm e^{C} | \sin (x) | - 1$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \pm C | \sin (x) | - 1$

Schritt 4.2

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = C | \sin (x) | - 1$