Analysis Beispiele

$\frac{x}{15 y^{2}} = \frac{d y}{d x}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Vertausche die Seiten um $\frac{d y}{d x}$ auf die linke Seite zu haben.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{15 y^{2}}$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten mit $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x}{15 y^{2}}$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 1.3.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $15 y^{2}$ heraus.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x}{y^{2} \cdot 15}$

Schritt 1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x}{y^{2} \cdot 15}$

Schritt 1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{15}$

Schritt 1.4

Schreibe die Gleichung um.

$y^{2} d y = \frac{x}{15} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int y^{2} d y = \int \frac{x}{15} d x$

Schritt 2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{x}{15} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $\frac{1}{15}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{15}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{15} \int x d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{15} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.3.3.1

Schreibe $\frac{1}{15} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ als $\frac{1}{15} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ um.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{15} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{15}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{15 \cdot 2} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2

Mutltipliziere $15$ mit $2$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{30} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{3} y^{3} = \frac{1}{30} x^{2} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\frac{1}{30} x^{2} + K)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{30} x^{2} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{30} x^{2} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{3} = 3 (\frac{1}{30} x^{2} + K)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $3 (\frac{1}{30} x^{2} + K)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kombiniere $\frac{1}{30}$ und $x^{2}$ .

$y^{3} = 3 (\frac{x^{2}}{30} + K)$

Schritt 3.2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{3} = 3 \frac{x^{2}}{30} + 3 K$

Schritt 3.2.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.2.1.3.1

Faktorisiere $3$ aus $30$ heraus.

$y^{3} = 3 \frac{x^{2}}{3 (10)} + 3 K$

Schritt 3.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{3} = 3 \frac{x^{2}}{3 \cdot 10} + 3 K$

Schritt 3.2.2.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$y^{3} = \frac{x^{2}}{10} + 3 K$

Schritt 3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{2}}{10} + 3 K}$

Schritt 3.4

Vereinfache $\sqrt[3]{\frac{x^{2}}{10} + 3 K}$ .

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Schritt 3.4.1

Um $3 K$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{10}{10}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{2}}{10} + 3 K \cdot \frac{10}{10}}$

Schritt 3.4.2

Kombiniere $3 K$ und $\frac{10}{10}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{2}}{10} + \frac{3 K \cdot 10}{10}}$

Schritt 3.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{2} + 3 K \cdot 10}{10}}$

Schritt 3.4.4

Mutltipliziere $10$ mit $3$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{2} + 30 K}{10}}$

Schritt 3.4.5

Schreibe $\sqrt[3]{\frac{x^{2} + 30 K}{10}}$ als $\frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K}}{\sqrt[3]{10}}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K}}{\sqrt[3]{10}}$

Schritt 3.4.6

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K}}{\sqrt[3]{10}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{10}}^{2}}{{\sqrt[3]{10}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K}}{\sqrt[3]{10}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{10}}^{2}}{{\sqrt[3]{10}}^{2}}$

Schritt 3.4.7

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.4.7.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K}}{\sqrt[3]{10}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{10}}^{2}}{{\sqrt[3]{10}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{\sqrt[3]{10} {\sqrt[3]{10}}^{2}}$

Schritt 3.4.7.2

Potenziere $\sqrt[3]{10}$ mit $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{{\sqrt[3]{10}}^{1} {\sqrt[3]{10}}^{2}}$

Schritt 3.4.7.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{{\sqrt[3]{10}}^{1 + 2}}$

Schritt 3.4.7.4

Addiere $1$ und $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{{\sqrt[3]{10}}^{3}}$

Schritt 3.4.7.5

Schreibe ${\sqrt[3]{10}}^{3}$ als $10$ um.

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Schritt 3.4.7.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{10}$ als $10^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{{(10^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Schritt 3.4.7.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{10^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Schritt 3.4.7.5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{10^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 3.4.7.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.4.7.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{10^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 3.4.7.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{10^{1}}$

Schritt 3.4.7.5.5

Berechne den Exponenten.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{10}$

Schritt 3.4.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.8.1

Schreibe ${\sqrt[3]{10}}^{2}$ als $\sqrt[3]{10^{2}}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K} \sqrt[3]{10^{2}}}{10}$

Schritt 3.4.8.2

Potenziere $10$ mit $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} + 30 K} \sqrt[3]{100}}{10}$

Schritt 3.4.9

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 3.4.9.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$y = \frac{\sqrt[3]{(x^{2} + 30 K) \cdot 100}}{10}$

Schritt 3.4.9.2

Stelle die Faktoren in $\frac{\sqrt[3]{(x^{2} + 30 K) \cdot 100}}{10}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{100 (x^{2} + 30 K)}}{10}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{\sqrt[3]{100 (x^{2} + K)}}{10}$