Analysis Beispiele

$y (2 x y^{2} - 3) d x + (3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = y (2 x y^{2} - 3)$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y (2 x y^{2} - 3)]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = y$ und $g (y) = 2 x y^{2} - 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [2 x y^{2} - 3] + (2 x y^{2} - 3) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x y^{2} - 3$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [2 x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [2 x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3]) + (2 x y^{2} - 3) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3.2

Da $2 x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 x y^{2}$ nach $y$ gleich $2 x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (2 x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3]) + (2 x y^{2} - 3) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (2 x (2 y) + \frac{d}{d y} [- 3]) + (2 x y^{2} - 3) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (4 x y + \frac{d}{d y} [- 3]) + (2 x y^{2} - 3) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3.5

Da $- 3$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (4 x y + 0) + (2 x y^{2} - 3) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3.6

Addiere $4 x y$ und $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (4 x y) + (2 x y^{2} - 3) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.4

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x (y^{1} y) + (2 x y^{2} - 3) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.5

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x (y^{1} y^{1}) + (2 x y^{2} - 3) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y^{1 + 1} + (2 x y^{2} - 3) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.7

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y^{2} + (2 x y^{2} - 3) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y^{2} + (2 x y^{2} - 3) \cdot 1$

Schritt 1.9

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 1.9.1

Mutltipliziere $2 x y^{2} - 3$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y^{2} + 2 x y^{2} - 3$

Schritt 1.9.2

Addiere $4 x y^{2}$ und $2 x y^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x y^{2} - 3$

Schritt 1.9.3

Stelle die Terme um.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y^{2} x - 3$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4 y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4 y]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $3 y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2} y^{2}$ nach $x$ gleich $3 y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4 y]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4 y]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4 y]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y]$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 y]$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x - 3 + \frac{d}{d x} [4 y]$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.5.1

Da $4 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x - 3 + 0$

Schritt 2.5.2

Addiere $6 y^{2} x - 3$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x - 3$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $6 y^{2} x - 3$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $6 y^{2} x - 3$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$6 y^{2} x - 3 = 6 y^{2} x - 3$

Schritt 3.2

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$6 y^{2} x - 3 = 6 y^{2} x - 3$ ist eine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y (2 x y^{2} - 3) d x$

Schritt 5

Integriere $M (x, y) = y (2 x y^{2} - 3)$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 5.1

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $y$ aus dem Integral.

$f (x, y) = y \int 2 x y^{2} - 3 d x$

Schritt 5.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$f (x, y) = y (\int 2 x y^{2} d x + \int - 3 d x)$

Schritt 5.3

Da $2 y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2 y^{2}$ aus dem Integral.

$f (x, y) = y (2 y^{2} \int x d x + \int - 3 d x)$

Schritt 5.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = y (2 y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 3 d x)$

Schritt 5.5

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = y (2 y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 3 x + C)$

Schritt 5.6

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$f (x, y) = y (2 y^{2} (\frac{x^{2}}{2} + C) - 3 x + C)$

Schritt 5.7

Vereinfache.

$f (x, y) = y (y^{2} x^{2} - 3 x) + C$

Schritt 6

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = y (y^{2} x^{2} - 3 x) + g (y)$

Schritt 7

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Schritt 8

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Schritt 8.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [y (y^{2} x^{2} - 3 x) + g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Schritt 8.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y (y^{2} x^{2} - 3 x) + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y (y^{2} x^{2} - 3 x)] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y (y^{2} x^{2} - 3 x)] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Schritt 8.3

Berechne $\frac{d}{d y} [y (y^{2} x^{2} - 3 x)]$ .

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Schritt 8.3.1

$y \frac{d}{d y} [y^{2} x^{2} - 3 x] + (y^{2} x^{2} - 3 x) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Schritt 8.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{2} x^{2} - 3 x$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3 x]$ .

$y (\frac{d}{d y} [y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3 x]) + (y^{2} x^{2} - 3 x) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Schritt 8.3.3

Da $x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $y^{2} x^{2}$ nach $y$ gleich $x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$y (x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3 x]) + (y^{2} x^{2} - 3 x) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Schritt 8.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$y (x^{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [- 3 x]) + (y^{2} x^{2} - 3 x) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Schritt 8.3.5

Da $- 3 x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$y (x^{2} (2 y) + 0) + (y^{2} x^{2} - 3 x) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Schritt 8.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$y (x^{2} (2 y) + 0) + (y^{2} x^{2} - 3 x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Schritt 8.3.7

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$y (2 \cdot x^{2} y + 0) + (y^{2} x^{2} - 3 x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Schritt 8.3.8

Addiere $2 x^{2} y$ und $0$ .

$y (2 x^{2} y) + (y^{2} x^{2} - 3 x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Schritt 8.3.9

Potenziere $y$ mit $1$ .

$2 x^{2} (y^{1} y) + (y^{2} x^{2} - 3 x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Schritt 8.3.10

Potenziere $y$ mit $1$ .

$2 x^{2} (y^{1} y^{1}) + (y^{2} x^{2} - 3 x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Schritt 8.3.11

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 x^{2} y^{1 + 1} + (y^{2} x^{2} - 3 x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Schritt 8.3.12

Addiere $1$ und $1$ .

$2 x^{2} y^{2} + (y^{2} x^{2} - 3 x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Schritt 8.3.13

Mutltipliziere $y^{2} x^{2} - 3 x$ mit $1$ .

$2 x^{2} y^{2} + y^{2} x^{2} - 3 x + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Schritt 8.3.14

Addiere $2 x^{2} y^{2}$ und $y^{2} x^{2}$ .

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Schritt 8.3.14.1

Stelle $y^{2}$ und $x^{2}$ um.

$2 x^{2} y^{2} + x^{2} y^{2} - 3 x + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Schritt 8.3.14.2

Addiere $2 x^{2} y^{2}$ und $x^{2} y^{2}$ .

$3 x^{2} y^{2} - 3 x + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Schritt 8.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$3 x^{2} y^{2} - 3 x + \frac{d g}{d y} = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Schritt 8.5

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{2} y^{2} - 3 x = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y$

Schritt 9

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 9.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d y}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 9.1.1

Subtrahiere $3 x^{2} y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} - 3 x = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y - 3 x^{2} y^{2}$

Schritt 9.1.2

Addiere $3 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} = 3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y - 3 x^{2} y^{2} + 3 x$

Schritt 9.1.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $3 x^{2} y^{2} - 3 x + 4 y - 3 x^{2} y^{2} + 3 x$ .

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Schritt 9.1.3.1

Subtrahiere $3 x^{2} y^{2}$ von $3 x^{2} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = - 3 x + 4 y + 0 + 3 x$

Schritt 9.1.3.2

Addiere $- 3 x + 4 y$ und $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 3 x + 4 y + 3 x$

Schritt 9.1.3.3

Addiere $- 3 x$ und $3 x$ .

$\frac{d g}{d y} = 4 y + 0$

Schritt 9.1.3.4

Addiere $4 y$ und $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 4 y$

Schritt 10

Bestimme die Stammfunktion von $4 y$ , um $g (y)$ zu finden.

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Schritt 10.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = 4 y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 4 y d y$

Schritt 10.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 4 y d y$

Schritt 10.3

Da $4$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$g (y) = 4 \int y d y$

Schritt 10.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Schritt 10.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 10.5.1

Schreibe $4 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ als $4 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ um.

$g (y) = 4 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Schritt 10.5.2

Vereinfache.

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Schritt 10.5.2.1

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{4}{2} y^{2} + C$

Schritt 10.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 10.5.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$g (y) = \frac{2 \cdot 2}{2} y^{2} + C$

Schritt 10.5.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.5.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$g (y) = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} y^{2} + C$

Schritt 10.5.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$g (y) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} y^{2} + C$

Schritt 10.5.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$g (y) = \frac{2}{1} y^{2} + C$

Schritt 10.5.2.2.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$g (y) = 2 y^{2} + C$

Schritt 11

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = y (y^{2} x^{2} - 3 x) + g (y)$ ein.

$f (x, y) = y (y^{2} x^{2} - 3 x) + 2 y^{2} + C$

Schritt 12

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x, y) = y (y^{2} x^{2}) + y (- 3 x) + 2 y^{2} + C$

Schritt 12.2

Multipliziere $y$ mit $y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 12.2.1

Bewege $y^{2}$ .

$f (x, y) = y^{2} y x^{2} + y (- 3 x) + 2 y^{2} + C$

Schritt 12.2.2

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $y$ .

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Schritt 12.2.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$f (x, y) = y^{2} y^{1} x^{2} + y (- 3 x) + 2 y^{2} + C$

Schritt 12.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (x, y) = y^{2 + 1} x^{2} + y (- 3 x) + 2 y^{2} + C$

Schritt 12.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$f (x, y) = y^{3} x^{2} + y (- 3 x) + 2 y^{2} + C$

Schritt 12.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f (x, y) = y^{3} x^{2} - 3 y x + 2 y^{2} + C$