Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} + x y = x^{2}$ , $y (0) = 0$

Schritt 1

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = x$ gilt.

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Schritt 1.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int x d x}$

Schritt 1.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$

Schritt 1.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{\frac{1}{2} x^{2}}$

Schritt 1.4

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}}$

Schritt 2

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{x^{2}}{2}} (x y) = e^{\frac{x^{2}}{2}} x^{2}$

Schritt 2.2

Stelle die Faktoren in $e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{x^{2}}{2}} (x y) = e^{\frac{x^{2}}{2}} x^{2}$ um.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + x y e^{\frac{x^{2}}{2}} = x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}}$

Schritt 3

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{x^{2}}{2}} y] = x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}}$

Schritt 4

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{\frac{x^{2}}{2}} y] d x = \int x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}} d x$

Schritt 5

Integriere die linke Seite.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}} d x$

Schritt 6

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 6.1

Sei $u_{1} = \frac{x^{2}}{2}$ . Dann ist $d u_{1} = x d x$ , folglich $\frac{1}{x} d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 6.1.1

Es sei $u_{1} = \frac{x^{2}}{2}$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 6.1.1.1

Differenziere $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Schritt 6.1.1.2

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x^{2}}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 6.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{2} (2 x)$

Schritt 6.1.1.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.1.1.4.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} x$

Schritt 6.1.1.4.2

Kombiniere $\frac{2}{2}$ und $x$ .

$\frac{2 x}{2}$

Schritt 6.1.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.1.1.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2}$

Schritt 6.1.1.4.3.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x$

Schritt 6.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int \sqrt{2 u_{1}} e^{u_{1}} d u_{1}$

Schritt 6.2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = e^{u_{1}}$ und $d v = \sqrt{2 u_{1}}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = e^{u_{1}} (\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

Schritt 6.3

Vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{2}{3}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = e^{u_{1}} (\frac{2}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

Schritt 6.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = e^{u_{1}} (\frac{2}{6} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

Schritt 6.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $6$ .

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Schritt 6.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = e^{u_{1}} (\frac{2 (1)}{6} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

Schritt 6.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = e^{u_{1}} (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

Schritt 6.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = e^{u_{1}} (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

Schritt 6.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = e^{u_{1}} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

Schritt 6.3.4

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = e^{u_{1}} \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

Schritt 6.3.5

Kombiniere $e^{u_{1}}$ und $\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1}$

Schritt 6.4

Da $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ aus dem Integral.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

Schritt 6.5

Vereinfache.

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Schritt 6.5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{2}{3}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{2}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

Schritt 6.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{2}{6} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

Schritt 6.5.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $6$ .

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Schritt 6.5.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{2 (1)}{6} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

Schritt 6.5.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.5.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

Schritt 6.5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

Schritt 6.5.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

Schritt 6.5.4

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1}$

Schritt 6.6

Das Integral von $e^{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $e^{u_{1}}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} (e^{u_{1}} + C)$

Schritt 6.7

Vereinfache.

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Schritt 6.7.1

Schreibe $\frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} (e^{u_{1}} + C)$ als $\frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C$ um.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Schritt 6.7.2

Vereinfache.

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Schritt 6.7.2.1

Subtrahiere $\frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ von $\frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 0 + C$

Schritt 6.7.2.2

Addiere $0$ und $C$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = C$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $e^{\frac{x^{2}}{2}} y = C$ durch $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{\frac{x^{2}}{2}} y = C$ durch $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

$\frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} y}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} = \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} y}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} = \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Schritt 8

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $C$ zu finden indem $0$ für $x$ und $0$ für $y$ in $y = \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$ ersetzt wird.

$0 = \frac{C}{e^{\frac{0^{2}}{2}}}$

Schritt 9

Setze den Zähler gleich Null.

$C = 0$

Schritt 10

Setze $0$ für $C$ in $y = \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$ ein und vereinfache.

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Schritt 10.1

Ersetze $C$ durch $0$ .

$y = \frac{0}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Schritt 10.2

Dividiere $0$ durch $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

$y = 0$