Analysis Beispiele

$x d x - 4 y d y = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $x d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 y d y = - x d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int - 4 y d y = \int - x d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 4$ aus dem Integral.

$- 4 \int y d y = \int - x d x$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$- 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int - x d x$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.2.3.1

Schreibe $- 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ als $- 4 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ um.

$- 4 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int - x d x$

Schritt 2.2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.3.2.1

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 4}{2} y^{2} + C_{1} = \int - x d x$

Schritt 2.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $2$ .

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Schritt 2.2.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 2}{2} y^{2} + C_{1} = \int - x d x$

Schritt 2.2.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.3.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} y^{2} + C_{1} = \int - x d x$

Schritt 2.2.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} y^{2} + C_{1} = \int - x d x$

Schritt 2.2.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2}{1} y^{2} + C_{1} = \int - x d x$

Schritt 2.2.3.2.2.2.4

Dividiere $- 2$ durch $1$ .

$- 2 y^{2} + C_{1} = \int - x d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- 2 y^{2} + C_{1} = - \int x d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 2 y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Schritt 2.3.3

Schreibe $- (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ als $- \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ um.

$- 2 y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$- 2 y^{2} = - \frac{1}{2} x^{2} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 y^{2} = - \frac{1}{2} x^{2} + K$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 y^{2} = - \frac{1}{2} x^{2} + K$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 y^{2}}{- 2} = \frac{- \frac{1}{2} x^{2}}{- 2} + \frac{K}{- 2}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 y^{2}}{- 2} = \frac{- \frac{1}{2} x^{2}}{- 2} + \frac{K}{- 2}$

Schritt 3.1.2.1.2

Dividiere $y^{2}$ durch $1$ .

$y^{2} = \frac{- \frac{1}{2} x^{2}}{- 2} + \frac{K}{- 2}$

Schritt 3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.3.1.1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$y^{2} = \frac{- \frac{x^{2}}{2}}{- 2} + \frac{K}{- 2}$

Schritt 3.1.3.1.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y^{2} = - \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{- 2} + \frac{K}{- 2}$

Schritt 3.1.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y^{2} = - \frac{x^{2}}{2} (- \frac{1}{2}) + \frac{K}{- 2}$

Schritt 3.1.3.1.4

Multipliziere $- \frac{x^{2}}{2} (- \frac{1}{2})$ .

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Schritt 3.1.3.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y^{2} = 1 \frac{x^{2}}{2} \frac{1}{2} + \frac{K}{- 2}$

Schritt 3.1.3.1.4.2

Mutltipliziere $\frac{x^{2}}{2}$ mit $1$ .

$y^{2} = \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{K}{- 2}$

Schritt 3.1.3.1.4.3

Mutltipliziere $\frac{x^{2}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$y^{2} = \frac{x^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{K}{- 2}$

Schritt 3.1.3.1.4.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y^{2} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{K}{- 2}$

Schritt 3.1.3.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y^{2} = \frac{x^{2}}{4} - \frac{K}{2}$

Schritt 3.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} - \frac{K}{2}}$

Schritt 3.3

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} - \frac{K}{2}}$ .

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Schritt 3.3.1

Um $- \frac{K}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} - \frac{K}{2} \cdot \frac{2}{2}}$

Schritt 3.3.2

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{K}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} - \frac{K \cdot 2}{2 \cdot 2}}$

Schritt 3.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} - \frac{K \cdot 2}{4}}$

Schritt 3.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} - K \cdot 2}{4}}$

Schritt 3.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} - 2 K}{4}}$

Schritt 3.3.5

Schreibe $\frac{x^{2} - 2 K}{4}$ als ${(\frac{1}{2})}^{2} (x^{2} - 2 K)$ um.

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Schritt 3.3.5.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $x^{2} - 2 K$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} - 2 K)}{4}}$

Schritt 3.3.5.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $2^{2}$ aus $4$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} - 2 K)}{2^{2} \cdot 1}}$

Schritt 3.3.5.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} (x^{2} - 2 K)}{2^{2} \cdot 1}$ um.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (x^{2} - 2 K)}$

Schritt 3.3.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{x^{2} - 2 K}$

Schritt 3.3.7

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sqrt{x^{2} - 2 K}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 2 K}}{2}$

Schritt 3.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 2 K}}{2}$

Schritt 3.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} - 2 K}}{2}$

Schritt 3.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 2 K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} - 2 K}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 2 K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} - 2 K}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 2 K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} - 2 K}}{2}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{\sqrt{x^{2} + K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} + K}}{2}$